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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 35

No exercício abaixo, realize uma divisão longa no integrando, escreva a fração própria como soma de frações parciais e então calcule a integral.

35 –

∫ 9 x 3 - 3 x + 1 x 3 - x 2 d x

Passo 1

Primeiramente vamos separar a integral em três frações, observe:

∫ 9 x 3 x 3 - x 2 - 3 x x 3 - x 2 + 1 x 3 - x 2 d x

Após separado, podemos observar que existe um fator em comum no denominador, por isso vamos colocar a expressão x 2 e evidencia asiim como alguns termos, deste modo obteremos:

∫ 9 x 3 x 2 ( x - 1 ) - 3 x x ( x ² - x ) + 1 x 3 - x 2 d x

Podemos simplificar as operações, deste modo teremos:

∫ 9 x x - 1 - 3 x 2 - x + 1 x 3 - x 2 d x

Passo 2

Agora vamos separar os termos em integrais, utilizando a regra da cadeia:

∫ 9 x x - 1 d x -   ∫ 3 x 2 - x d x + ∫ 1 x 3 - x 2 d x  

Resolvendo cada uma das integrais individualmente teremos:

∫ 9 x x - 1 d x

Considerando: t = x - 1

∫ 9 t + 9 t d t = ∫ 9 t t + 9 t d t =   ∫ 9 + 9 t d t = ∫ 9   d t +   ∫ 9 t   d t = 9 t - 9 ln ⁡ t = 9 x - 9 + 9 ln ⁡ x - 1

Resolvendo a segunda integral:

- ∫ 3 x 2 - x d x = - 3 ∫ 1 x 2 - x d x

Reescrevendo a fração como decomposição fracional parcial:

Sendo: x 2 - x = x ( x - 1 )

- 3 ∫ - 1 x + 1 x - 1 d x =   - 3 - ∫ 1 x d x + ∫ 1 x - 1 d x =   - 3 - ln ⁡ x + ln ⁡ x - 1

Multiplicando por - 3 :

3 ln ⁡ x - 3 ln ⁡ x - 1

Resolvendo a terceira integral:

∫ 1 x 3 - x 2 d x

Reescrevendo a fração como decomposição fracional parcial:

∫ - 1 x - 1 x 2 + 1 x - 1 d x = - ∫ 1 x d x - ∫ 1 x 2 d x +   ∫ 1 x - 1 d x

Resolvendo as integrais teremos:

- ln ⁡ x - ∫ x - 2 d x + ln ⁡ x - 1 =

Resolvendo:

- ∫ x - 2 d x =   - x - 2 + 1 - 2 + 1 =   - x - 1 - 1 =   - - x - 1 =   + 1 x

Logo:

- ln ⁡ x + 1 x + ln ⁡ x - 1

Passo 3

Juntando os resultados obtidos, teremos:

9 x - 9 + 9 ln ⁡ x - 1 + 3 ln ⁡ x - 3 ln ⁡ x - 1 - ln ⁡ x + 1 x + ln ⁡ x - 1 + c

Organizando os termos e realizando as operações necessárias:

9 x - 9 + 7 ln ⁡ x - 1 + 2 ln ⁡ x + 1 x + c

Somando - 9   com a constante de integração teremos:

9 x + 7 ln ⁡ x - 1 + 2 ln ⁡ x + 1 x + c

Resposta

9 x + 7 ln ⁡ x - 1 + 2 ln ⁡ x + 1 x + c

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Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ d x 2 x 3 - 3 x 2