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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 38

No Exercício ∫ x 2 x 2 - 4 x + 5   d x , utilize uma substituição para transformar a integral em outra que você possa encontrar na tabela. Em seguida, calcule a integral.

Passo 1

Para resolver essa atividade iremos fazer alguma substituição para poder modificar a espressão de forma que quando a gente for procurar na tabela iremos encontrar a fórmula.

Passo 2

Vamos primeiro reorganizar:

∫ x 2 x 2 - 4 x + 5   d x =   ∫ x 2 x - 2 2 + 1   d x

Agora faremos uma substituição:

t = x - 2 logo x = t + 2

d t   =   ( x - 2 ) ' dx

d t   =   dx

∫ x 2 x - 2 2 + 1   d x   =   ∫ ( t + 2 ) 2 t 2 + 1   d t

=   ∫ t 2 + 4 t + 4 t 2 + 1   d t

=   ∫ t 2 t 2 + 1   d t + ∫ 4 t t 2 + 1   d t + ∫ 4 t 2 + 1   d t

=   ∫ t 2 t 2 + 1   d t + 4 ∫ t t 2 + 1   d t + 4 ∫ 1 t 2 + 1   d t

Vamos calcular primeiro ∫ t 2 t 2 + 1   d t usando a seguinte fórmula:

∫ x 2 a 2 + x 2 d x = - a 2 2 .   l n   x + a 2 + x 2 + x a 2 + x 2 2

∫ t 2 t 2 + 1   d t = - 1 2 2 .   l n   t + 1 2 + t 2 + t 1 2 + t 2 2

∫ t 2 t 2 + 1   d t = - 1 2 .   l n   t + 1 + t 2 + t 1 + t 2 2

Para calcular   ∫ t t 2 + 1   d t   usaremos o método substituição novamente:

u = 1 + t 2

d u = 1 + t 2 , d t

d u = 1 2 . 1 1 + t 2 . 2 t   d t

d u = t 1 + t 2   d t

substituindo:

∫ t t 2 + 1   d t = ∫   1   d u

= u

= 1 + t 2

E por último calculamos ∫ 1 t 2 + 1   d t   usando a seguinte fórmula:

∫ 1 a 2 + x 2   d x =   l n   x + a 2 + x 2

∫ 1 t 2 + 1     d t =   l n   t + 1 2 + t 2

∫ 1 t 2 + 1     d t =   l n   t + 1 + t 2

Passo 3

Agora substituimos os valores na expressão original:

= ∫ t 2 t 2 + 1   d t + 4 ∫ t t 2 + 1   d t + 4 ∫ 1 t 2 + 1   d t

= - 1 2 .   l n   t + 1 + t 2 + 1 + t 2 2 + 4 1 + t 2 + 4   l n   t + 1 + t 2

= 7 2 .   l n   t + 1 + t 2 + t 1 + t 2 2 + 4 1 + t 2

Substituindo t = x - 2 :

= 7 2 .   l n   x - 2 + x 2 - 4 x + 5 + ( x - 2 ) x 2 - 4 x + 5 2 + 4 x 2 - 4 x + 5 + C

Obs: adicionamos “c” que é a constante de integração

Resposta

∫ x 2 x 2 - 4 x + 5   d x = 7 2 .   l n   x - 2 + x 2 - 4 x + 5 + ( x - 2 ) x 2 - 4 x + 5 2 + 4 x 2 - 4 x + 5 + C

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