Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 50
Calcule a integral.
Passo 1
Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: a expressão já tá simplificada, vamos então tentar fazer uma Substituição. Temos um denominador com uma raiz, podemos tentar fazer com que seja essa raiz, vamos lá:
Vamos fazer a mudança de variável:
Vamos agora achar a diferencial de , derivando:
Fazendo a substituição ficamos com:
Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.
Passo 2
Poxa, não deu em nada, não dá para simplificar nada com o numerador, então vamos usar Frações Parciais:
Vamos achar os valores de e , vamos multiplicar os lados da equação pelo produto dos denominadores :
Fazendo e substituindo temos que , com temos .
Destrinchando os termos do polinômio ficamos com os coeficientes de e os coeficientes isolados:
Isolando na primeira, ficamos com:
Substituindo na segunda:
Pronto, achamos os valores de e , vamos agora substituir de volta na integral:
Passo 3
Vamos resolver separadamente, para a primeira vamos fazer uma Substituição:
Derivando:
Substituindo temos:
É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Vamos agora fazer a substituição:
Passo 4
Para a segunda vamos fazer uma Substituição:
Derivando:
Substituindo temos:
É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Vamos agora fazer a substituição:
Passo 5
Para a terceira vamos fazer uma Substituição:
Derivando:
Substituindo temos:
É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Vamos agora fazer a substituição:
Passo 6
Para a quarta vamos fazer uma Substituição:
Derivando:
Substituindo temos:
É fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:
Vamos agora fazer a substituição:
Passo 7
Juntando tudo agora:
Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável , é só substituir de volta o que você usou no começo: