O Exercício fornece a velocidade v = ds / dt e a posição inicial de um corpo que se desloca ao longo de uma reta coordenada. Determine a posição do corpo no instante t para o seguinte caso:

v = 9,8t + 5, s(0) = 10

Passo 1

Queremos encontrar a função s ( t ) a partir da análise da função v ( t ) que, como o enunciado nos mostrou, é a sua derivada. Assim, utilizaremos as regras de derivação no sentido inverso para encontrarmos a solução do nosso problema.

Passo 2

Como a nossa função v ( t ) tem a forma v   =   4,9 * 2 t   +   5 podemos imaginar que como o expoente da variável t que acompanha o 9,8 é 1 , na função antes de derivamos tínhamos um t 2 e como o 5 aparece sozinho podemos pensar que na função de origem nós tínhamos um t elevado ao expoente 1 devido a regra da derivação de polinômio se f x = x n → f ' x = n * x n - 1 .

Passo 3

Sendo assim, podemos imaginar uma função g t tal que g t = 4.9 t 2 + 5 t e observamos que g ' t = v   t = s ' ( t ) . Como consequência direta do teorema do valor médio temos um corolário que diz que se encontrarmos uma função g x tal que s ' x = g ' ( x ) para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que s x = g x + C . Dessa forma, podemos fazer o seguinte:

s t = g t + C

s t = 4.9 t 2 + 5 t + C

Utilizando a condição inicial dada s 0 = 10 , temos:

s 0 = 4.9 * 0 2 + 5 * 0 + C

10 = 0 + C

C = 10

Logo, para um instante de tempo t qualquer, nossa função s ( t ) será:

s t = 4.9 t 2 + 5 t + 10

Resposta

s t = 4.9 t 2 + 5 t + 10

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