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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 31.a

Suponha que f^' (x) = 2 x para todo x. Determine f ( 2 ) se f (0) = 0 .

Passo 1

A derivada da nossa função tem valor igual a 2 x para todo x, queremos saber o valor de f ( 2 ) no caso da nossa condição inicial ser nula. Primeiramente para sabermos o valor de f ( 2 ) precisamos saber quem é nossa f ( x ) para, assim, substituirmos o valor 2 e descobrirmos o que a questão deseja.

Passo 2

Como consequência direta do teorema do valor médio temos um corolário que diz que se encontrarmos uma função g (x) tal que g^' (x) = f ' ( x ) para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que f (x) = g (x) + C para qualquer x e é exatamente por aqui que começaremos a resolver o problema.

Tomando uma função g (x) = x^2 percebemos que g^' (x) = 2 x que possui uma derivada idêntica a de f ' ( x ) .

Passo 3

Tendo em vista que f^' (x) = g^' (x) -> f (x) = g (x) + C . Sendo assim, aplicaremos a condição inicial que diz que f (0) = 0 , e n t ã o :

f (0) = g (0) + C

0 = 0 + C

:. C = 0 .

Passo 4

Sendo assim, f (x) = x^2 para o problema, então, para sabermos quanto vale f (2) , basta substituirmos x por 2 na equação:

f (2) = 2^2

f (2) = 4

Resposta

f (2) = 4

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