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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.4 - Ex. 33

No Exercício ∫ 2 x 3   -   2 x   2 + 1 x 2 - x d x , realize uma divisão longa no integrando, escreva a fração própria como soma de frações parciais e então calcule a integral.

Passo 1

A questão pede para fazermos uma divisão no integrando, ou seja, uma divisão de polinômios quem vai transfórma-los em uma fração própria. Depois faremos uma integral de frações parciais.

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar para simplificar:

2 x 3   -   2 x   2 + 1 x 2 - x = 2 x ( x 2   -   x ) + 1 x 2 - x

= 2 x ( x 2   -   x ) x 2 - x + 1 x 2 - x

= 2 x + 1 x 2 - x

Agora após resolver a divisão, vamos transformar 1 x 2 - x em frações parciais:

1 x 2 - x   = 1 x ( x - 1 )

1 x ( x - 1 ) = A x + B ( x - 1 )

1 = A ( x   - 1 )   +   B x

1 = A x   - A   +   B x

1 = A + B x - A  

Montando o sistema:

A + B = 0 - A = 1

_____________

A = - 1  

Substituindo:

A + B = 0

- 1 + B = 0

B = 1

Logo as frações parciais serão:

1 x ( x - 1 ) = - 1 x + 1 ( x - 1 )

Portanto:

2 x + 1 x 2 - x = 2 x - 1 x + 1 ( x - 1 )

Passo 3

Agora sim podemos resolver a integral:

∫ 2 x 3   -   2 x   2 + 1 x 2 - x d x = ∫ 2 x - 1 x + 1 ( x - 1 )   d x

= ∫ 2 x   d x - ∫ 1 x   d x + ∫ 1 ( x - 1 )   d x

= 2 ∫ x   d x - ∫ 1 x   d x + ∫ 1 x - 1   d x

= 2 . x 2 2 - l n x + l n   x - 1

= x 2 - l n x + l n   x - 1   + c

OBS: adicionamos “c” a constante de integração.

Resposta

∫ 2 x 3   -   2 x   2 + 1 x 2 - x d x = = x 2 - l n x + l n   x - 1   + c

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