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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.5 - Ex. 13

int (x^2 - 3 x - 7)/(( 2 x + 3 ) ( x + 1 )^2) d x

Passo 1

Primeiro vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

int (x^2 - 3 x - 7)/(( 2 x + 3 ) ( x + 1 )^2) d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

(x^2 - 3 x - 7)/(( 2 x + 3 ) ( x + 1 )^2) = (A)/(( 2 x + 3 )) + (B)/(( x + 1 )^2) + (C)/(( x + 1 ))

Isolando x^2 - 3 x - 7 , vamos achar

x^2 - 3 x - 7 = A ( x + 1 )^2 + B ( 2 x + 3 ) + C ( 2 x + 3 ) ( x + 1 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 23 ; B = 3 ; C = - 11

Agora substituindo os valores de A, B e C, temos:

(x^2 - 3 x - 7)/(( 2 x + 3 ) ( x + 1 )^2) = (23)/(( 2 x + 3 )) + (3)/(( x + 1 )^2) - (11)/(( x + 1 ))

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

int (3 x^2 - x + 1)/(x^2 ( x - 1 )) d x = int (23)/(( 2 x + 3 )) d x + int (3)/(( x + 1 )^2) d x - int (11)/(( x + 1 )) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

int (3 x^2 - x + 1)/(x^2 (x - 1)) d x = (3)/(x + 1) + ln | x + 1 | - (ln |2 x + 3|)/(2)

Resposta

int (x^2 - 3 x - 7)/(( 2 x + 3 ) ( x + 1 )^2) d x = (3)/(x + 1) + ln | x + 1 | - (ln |2 x + 3|)/(2) + c

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