∫ x 2 - 3 x - 7 ( 2 x + 3 ) ( x + 1 ) 2 d x

Passo 1

Primeiro vamos arranjar a equação de forma mais conveniente para resolver as frações parcias. Esse passo é feito manipulando as funções, fazendo que ela fique de forma mais agradável para gente, geralmente usamos as raízes para reescrever as equações.

∫ x 2 - 3 x - 7 ( 2 x + 3 ) ( x + 1 ) 2 d x

Passo 2

Agora vamos para frações parciais, temos que:

x 2 - 3 x - 7 ( 2 x + 3 ) ( x + 1 ) 2 = A ( 2 x + 3 ) + B ( x + 1 ) 2 + C ( x + 1 )

Isolando   x 2 - 3 x - 7 , vamos achar

x 2 - 3 x - 7 = A ( x + 1 ) 2 + B ( 2 x + 3 ) + C ( 2 x + 3 ) ( x + 1 )

Resolvendo o sistema de equações acima, temos:

A = 23 ;                     B = 3 ;                   C = - 11

Agora substituindo os valores de A, B e C, temos:

x 2 - 3 x - 7 ( 2 x + 3 ) ( x + 1 ) 2 = 23 ( 2 x + 3 ) + 3 ( x + 1 ) 2 - 11 ( x + 1 )

Passo 3

Já resolvemos as frações parciais, agora só falta resolver a integral.

∫ 3 x 2 - x + 1 x 2 ( x - 1 ) d x = ∫ 23 ( 2 x + 3 ) d x + ∫ 3 ( x + 1 ) 2 d x - ∫ 11 ( x + 1 ) d x

Ficou fácil agora, basta resolver as integrais, que são bem simples.

∫ 3 x 2 - x + 1 x 2 x - 1 d x = 3 x + 1 + ln ⁡ | x + 1 | - ln ⁡ 2 x + 3 2

Resposta

∫ x 2 - 3 x - 7 ( 2 x + 3 ) ( x + 1 ) 2 d x = 3 x + 1 + ln ⁡ | x + 1 | - ln ⁡ 2 x + 3 2 + c

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