Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.Revisão - Ex. 24
No exercício a seguir, ache a equação da hipérbole com as propriedades dadas e faça um esboço do gráfico.
Centro em (-5,2), um Vértice em (-1,2) e um foco em (0,2)
Passo 1
É importante nessa questão, a gente fazer alguns esboços durante as resoluções, vai nos dá um bom norte sobre as equações! Vamos colocar os pontos no eixo cartesiano. C para centro, A para vértice e F para foco.
De cara, da pra gente inferir o seguinte. O centro fica bem no meio dos vértices, portanto, a distância de um vértice para o centro, é a mesma distancia do outro vértice para o centro! Demais, não acha?
Portanto,
4
Logo,
E já no embalo dos vértices, vamos descobrir a distância entre eles, que é somente multiplicar as distâncias até o centro por 2.
Que é igual ao famoso 2a. Porque não tirar logo o valor do a?
Passo 2
Olhe só!! Temos o nosso primeiro valorzinho importante na equação, que é o a. Agora vamos atrás do valor de c, que está relacionado com o foco. A distancia de A2 para o nosso F2 é de 1, portanto laaaaa do outro lado, a distancia de A1 também é de 1:
d
Portanto:
E de quebra, já tiramos o valor de c, que corresponde a metade do valor da distancia entre os focos.
D
EEEEITA! Estamos quase lá! Está falando somente um valorzinho para irmos para o passo final: o valor de b. Para acha-lo, vamos para essa equação que está relacionada com a hipérbole:
Ah gente agora é so partir pro abraço né? Tá muuuito fácil!
Passo 3
Temos os valores de a,b e c!! Isso não dá uma emoção? Não sei pra vocês, mas para mim dá muita!
Vamos para o finalzinho. A equação canônica da hipérbole deslocada na origem e que seus focos estão paralelos ao eixo x é essa:
Em que Xc e Yc correspondem respectivamente as coordenadas x e y do centro da hibérbole. Pelas informações que a gente já tem, sabemos que o nosso centro fica na posição (-5,2). Portanto nosso Xc = -5 e nosso Yc = 2. Vamos montar a equação e nos livrar dessa questão? SIMBORA!
Organizando os dados: a = 4 , b =3 , Xc = -5, Yc = 2.
Logo, a nossa equação é:
Fazendo o esboço, fica: