Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.Revisão - Ex. 17
No exercício a seguir, o gráfico da equação é uma elipse ou uma hipérbole. Ache o centro, vértices e focos da cônica. Se o gráfico for uma elipse, ache também as extremidades do eixo menor. Se o gráfico for uma hipérbole, ache também as equações das assíntotas. Faça um esboço da curva e mostre os focos. Se a curva for uma hipérbole, trace também as assíntotas.
Passo 1
Bom, primeiro que a gente não sabe se isso é uma hipérbole ou uma elipse. Então vamo lá tentar descobrir? SIMBORA!
Para fazer tal coisa, a gente deve primeiro pegar essa equação e deixar ela na forma reduzida, pra gente trabalhar com a parte fácil do negocio! Então, vamos ajeitar isso daí. Primeiro vamos tentar deixar o que é “x com x” e o que é “y com y”.
Bem, chegando aqui a gente agora vai aplicar a técnica de completar o quadrado. A gente observa que se parecem com dois termos elevados ao quadrado, faltando somente o terceiro termo, então a gente subtrai deles, e chamamos esses termos de K e P (já que está faltando, né?)
AEEEE!! Conseguimos chegar na nossa tão sonhada EQUAÇÃO REDUZIDA! E a gente já pode dizer que isso é uma elipse, pois entre os termos de “x” e “y”, há uma soma. Legal, mas a questão ainda não terminou.
Outro ponto a se observar aqui, é que essa elipse está “em pé” (pois o número que está debaixo do y é maior que o de x) e ela também corresponde a um caso de translação, ou seja, ela não está centrada na origem. Mas calma, isso é facilmente corrigido.
Passo 2
Então já que chegamos na nossa elipse, vamos “dar nomes aos bois”!
Antes de mais nada, devemos lembrar que nessa equação, o “x” e o “y” da equação não são termos isolados (estão sendo somados/subtraídos de algum valor), logo, a nossa elipse não está centrada na origem. Então o primeiro passo é transformar as nossas coordenadas xy em coordenadas x’y’. E é bem fácil, relaxa 😊
Sim, está feito. E não, não é zoeira kkkkkk. Já que a gente considerou agora (depois da transformação) que o centro está na origem, vamos definir o que é cada coisa aqui. Da nossa nova equação, temos que:
Logo:
E também:
E da fórmula:
Ja temos o nescessário para acharmos os Focos e os Vértices da nossa elipse. Nos vértices e nos focos, a gente vai considerar A’, B’ e F’ (já que estamos nas coordenadas x’y’). LEMBRANDO que o eixo maior é eixo y!! Não vamos esquecer disso na resposta final, porque o enuciado exige as coordenadas do eixo menor! Das formulas, temos que:
Passo 3
Ufa, tamo quase terminando!! Agora pra matar a questão de vez, a gente vai voltar ao sistemas de coordenadas xy. Pra isso, vamos fazer a seguinte:
Temos que:
Logo, para o caso de A’, por exemplo, vamos ter que:
E:
Logo:
Entereram? Fácil né? Se não entendeu, volta aí e vai passando devagar as transformações... Se você já entendeu, vamo prosseguir fazendo as transformações para o A, B e F!
Primeiro o A, já puxando o gancho do exemplo das transformações.
Agora para o B:
Agora para o F:
E agora pra matar a questão, vamos para o esboço:
Resposta
Eixo menor: B
Extremidades: