Calcule a integral indefinida:

∫ ln ⁡ x 2 d x

Passo 1

Pessoal, essa questão é resolvida pelo método de integração por partes, mas analisando essa integral indefinida nós NÃO vemos um produto de funções. Como fazer então? Temos um macetinho para fazer aparecer, vejam só:

∫ ( ln ⁡ x ) 2 ⋅ 1 d x = ∫ ( ln ⁡ x ) 2 ⋅ x 0 d x

Agora temos um produto de um polinômio com um logaritmo!! Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função logarítmica. Teremos então:

d v = 1 d x v =   ? u = ln ⁡ x 2 d u =   ?

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

d v = 1 d x v = ∫ 1 d x = x + C u = ln ⁡ x 2 d u = 2 ln ⁡ x x d x

Devemos lembrar que [ ln ⁡ x 2 ] ' = 2 ln ⁡ x 2 - 1 ln ⁡ x ' = 2 ln ⁡ x x .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

∫ ln ⁡ x 2 ⏟ u 1 d x ⏟ d v = ln ⁡ x 2 ⏟ u x ⏟ v - ∫ x ⏟ v 2 ln ⁡ x x d x ⏟ d u

∫ ln ⁡ x 2 d x = x ln ⁡ x 2 - 2 ∫ ln ⁡ x d x

Como vocês podem ver, apareceu uma outra integral que é resolvida pelo método das partes. Vamos aplicá-lo de novo então.

Passo 4

Faremos agora com ∫ ln ⁡ x d x . Escolhendo u = ln ⁡ x .

d v = 1 d x v = ∫ 1 d x = x + C u = ln ⁡ x d u = 1 x d x

Aplicando na fórmula de novo:

∫ ln ⁡ x ⏟ u 1 d x ⏟ d v = ln ⁡ x ⏟ u x ⏟ v - ∫ x ⏟ v 1 x d x ⏟ d u

∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x - ∫ 1 d x = x ln ⁡ x - x + C = x ( ln ⁡ x - 1 ) + C

Pronto.

Passo 5

Agora vamos substituir na integral inicial:

∫ ln ⁡ x 2 d x = x ln ⁡ x 2 - 2 ∫ ln ⁡ x d x = x ln ⁡ x 2 - 2 x ( ln ⁡ x - 1 ) + C

∫ ln ⁡ x 2 d x = x ln ⁡ x 2 - 2 x ( ln ⁡ x - 1 ) + C = x [ ln ⁡ x 2 - 2 ( ln ⁡ x - 1 ) ] + C

Não se esqueça da constante.

Resposta

∫ ln ⁡ x 2 d x = x [ ln ⁡ x 2 - 2 ( ln ⁡ x - 1 ) ] + C

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