Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.1 - Ex. 7

Calcule a integral indefinida:

int (ln x)^2 d x

Passo 1

Pessoal, essa questão é resolvida pelo método de integração por partes, mas analisando essa integral indefinida nós NÃO vemos um produto de funções. Como fazer então? Temos um macetinho para fazer aparecer, vejam só:

int ( ln x )^2 * 1 d x = int ( ln x )^2 * x^0 d x

Agora temos um produto de um polinômio com um logaritmo!! Vamos usar então a fórmula da integração por partes:

int u d v = u v - int v d u

Precisamos chamar uma parte da integral de u e outra de d v . Chamamos de d v a parte mais fácil de integrar e u a mais fácil de derivar! No nosso caso, u será a função logarítmica. Teremos então:

[[d,v,=,1,d,x,v,=,,?],[u,=,(ln x)^2,d,u,=,,?]]

Aqui nós podemos usar o macete LIATE para escolher u na seguinte ordem: Logarítmica, Inversa Trigonométrica, Álgebrica ou (polinomial), Trigonométrica e Exponencial.

Passo 2

Agora nós precisamos achar v , integrando d v e achar d u derivando u . Ficando com:

[[d,v,=,1,d,x,v,=,int 1 d x =,x,+,C],[u,=,(ln x)^2,d,u,=,(2 ln x)/(x),d,x]]

Devemos lembrar que [ (ln x)^2 ] ' = 2 (ln x)^(2 - 1) (ln x) ' = (2 ln x)/(x) .

Passo 3

Agora substituímos tudo na fórmula da integração por partes. Obs: não precisamos colocar a constante C de v na fórmula.

int underset(u)(ubrace (ln x)^2) underset(d v)(ubrace 1 d x) = underset(u)(ubrace (ln x)^2) underset(v)(ubrace (x)) - int underset(v)(ubrace x) underset(d u)(ubrace (2 ln x)/(x) d x)

int (ln x)^2 d x = x (ln x)^2 - 2 int ln x d x

Como vocês podem ver, apareceu uma outra integral que é resolvida pelo método das partes. Vamos aplicá-lo de novo então.

Passo 4

Faremos agora com int ln x d x . Escolhendo u = ln x .

[[d,v,=,1,d,x,v,=,int 1 d x,=,x,+,C],[u,=,ln x,d,u,=,(1)/(x),d,x]]

Aplicando na fórmula de novo:

int underset(u)(ubrace (ln x)) underset(d v)(ubrace 1 d x) = underset(u)(ubrace (ln x)) underset(v)(ubrace (x)) - int underset(v)(ubrace x) underset(d u)(ubrace (1)/(x) d x)

int ln x d x = x ln x - int 1 d x = x ln x - x + C = x ( ln x - 1 ) + C

Pronto.

Passo 5

Agora vamos substituir na integral inicial:

int (ln x)^2 d x = x (ln x)^2 - 2 int ln x d x = x (ln x)^2 - 2 x ( ln x - 1 ) + C

int (ln x)^2 d x = x (ln x)^2 - 2 x ( ln x - 1 ) + C = x [ (ln x)^2 - 2 ( ln x - 1 ) ] + C

Não se esqueça da constante.

Resposta

int (ln x)^2 d x = x [ (ln x)^2 - 2 ( ln x - 1 ) ] + C

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ x s e n - 1 x 2 d x
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ sin 2 ⁡ x cos ⁡ x ln ⁡ sin ⁡ x d x
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ e 2 x ⁡ a r c t g e x d x
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ e x 3 - e 2 x d x
Utilize a tabela de integrais no fim do livro para calcular a integral ∫ e 2 x ⁡ a r c t g e x d x