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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.3 - Ex. 14

Nos Exercícios 1-10, determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são.

14-

x = 1 - y 2 ,     - 1 2 ≤ y ≤ 1 2

Passo 1

O comprimento do arco formado por essa função tem a seguinte expressão:

s = ∫ 1 + d x d y 2   d y  

A derivada em relação a y , pela regra da cadeia, da função acima é:

d x d y = 1 2 1 - y 2 × - 2 y = - y 1 - y 2

O quadrado dessa expressão que acabamos de encontrar é:

d x d y 2 = y 2 1 - y 2

Passo 2

Adequando na integral temos:

s = ∫ - 1 / 2 1 / 2 1 + y 2 1 - y 2 = ∫ - 1 / 2 1 / 2 1 1 - y 2   d y = ∫ - 1 / 2 1 / 2 1 - y 2 - 1 2

Fazendo a substituição tirada da tabela de funções trigonométricas inversas.

a 2 - x 2       u t i l i z e       x = a   s e n u

a 2 + x 2       u t i l i z e   x = a   t g   u

x 2 - a 2       u t i l i z e   x = a   s e c u

No caso vamos aplicar a substituição y = s e n   u

Logo:

d y = cos ⁡ u     d u

Substituindo:

s = 2 ∫ 0 1 / 2 cos ⁡ u d u 1 - s e n 2 u

Como temos a relação fundamental da trigonometria:

cos 2 ⁡ u + s e n 2 u = 1 → cos ⁡ u = 1 - s e n 2 u

O que nos dá:

s = 2 ∫ 0 1 / 2 c o s u cos ⁡ u d u = 2 ∫ 0 1 / 2 d u = 2 s e n - 1 u 0 1 2

Uma vez que se x = s e n   u logo u = s e n - 1 x .

O que nos dá:

a = 2 s e n - 1 1 2 - 2   s e n - 1 0

Passo 3

Relembrando arco ângulos temos:

y = s e n - 1 1 2 → s e n   y = 1 2

Logo qual ângulo de y me dá um seno de 1 / 2 . A resposta seria π / 6 .

Para a segunda temos:

s e n   y = 0

Que seria 0. Logo:

s = 2 × π 6 = π 3 = 1.047

Resposta

π 3 = 1.047

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