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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.3 - Ex. 8

Nos Exercícios 1-10, determine o comprimento das curvas. Se tiver um programa gráfico, talvez queira esboçar o gráfico dessas curvas para ver como elas são.

8-

y = x 3 3 + x 2 + x + 1 4 x + 4 ,       0 ≤ x ≤ 2

Passo 1

A expressão para determinar o comprimento das curvas de função que está em relação a x é:

s = 1 + d y d x 2   d y

Fazendo a derivada de y em relação a x nos dá:

d y d x = x 2 + 2 x + 1 - 1 4 1 x + 1 2 = x + 1 2 - 1 4 1 x + 1 2

Fazendo o quadrado dessa derivada temos:

d y d x 2 = x + 1 4 - 2 × 1 4 1 x + 1 2 x + 1 2 + 1 16 1 x + 1 4

d y d x 2 = x + 1 4 - 1 2 + 1 16 x + 1 4

Passo 2

Adequando esse resultado na integral temos:

s = ∫ 0 2 1 + x + 1 4 - 1 2 + 1 16 x + 1 4 d x

s = ∫ 0 2 x + 1 4 + 1 2 + x + 1 - 4 16 d x

Conseguimos um produto notável da seguinte forma:

u 2 + u - 2 4 2 = u 4 + 1 2 + u - 4 16

Logo:

s = ∫ 0 2 x + 1 2 + x + 1 - 2 4 2   d x

s = ∫ 0 2 x + 1 2 + x + 1 - 2 4 d x

Passo 3

Substituindo u = x + 1 temos:

d u = d x

Os nossos intervalos variam:

Para x = 0 :

u = x + 1 → 0 + 1 = 1

Para x = 2 :

u = x + 1 → 2 + 1 = 3

Logo nossa integral fica:

s = ∫ 1 3 u 2 + u - 2 4 d u

s = u 3 3 1 3 - u - 1 4 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 - 1 4 × 3 - 1 4 = 53 6

Resposta

53 6

Gráfico:

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