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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.4 - Ex. 10

Determine a área da superfície lateral do cone gerado pela rotação do segmento de reta y = x 2   ,   0 ≤ x ≤ 4 , em torono do eixo y . Verifique se seu resultado coincide com a fórmula geométrica:

Á r e a   d e   s u p e r f í c i e   l a t e r a l = 1 2 × c i r f n f e r ê n c i a   d a   b a s e × a l t u r a   i n c l i n a d a

Passo 1

Por definição temos que se a x = g y ≥ 0   é continuamente derivável em [ c , d ] , a área da superfície gerada pela rotação da curva x = g ( y ) em torno do eixo y é:

S = ∫ c d 2 π g ( y ) 1 + g ' y 2   d y

Assim, temos que, se x varia de 0 até 4, y vai variar de y = 0 2 = 0 até y = 4 2 = 2 . Então:

S = ∫ 0 2 2 π   2 y 1 + 2 2 d y = 4 π 5 ∫ 0 2 y   d y = 4 π 5 y 2 2 0 2 = 8 π 5

Verificando com a fórmula geométrica, temos:

A L = 1 2 × 2 π r × h = 1 2 × 2 π × 4 × 4 2 + 2 2 = 8 π 5  

Resposta

8 π 5

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