Enuncie uma fórmula integral para encontrar o comprimento de arco de uma curva lisa acima de um intervalo e use somas de Riemann para derivar a fórmula dada.

Para encontrarmos a integral, usamos o método do fatiamento para que as áreas possam ser aproximadas por fórmulas elementares. Assim, a área de cada parte da superfície aproximante pode ser obtida pela fórmula:

(1)

A área lateral do -ésimo tronco de cone é:

Se somarmos essas áreas, vamos obter a seguinte aproximação da área da superfície inteira:

Para colocar isso na forma de uma soma de Riemann, vamos aplicar o Teorema do Valor Médio. Esse teorema implica a existência de um ponto entre e , tal que:

e, assim, podemos reescrever :

No entanto, isso ainda não é uma soma de Riemann, pois envolve as variáveis e . Para eliminar essas variáveis da expressão, observe que o valor médio dos números e está entre esses números. Dessa forma, a continuidade de e o Teorema do Valor Intermediário implicam a existência de um ponto entre e . Logo,

Aplicando o limite para a integração:

Prontinho!!