Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.4 - Ex. 13

Vamos começar efetuando uma rotação para eliminar o termo e depois a translação. Para efetuar a rotação, vamos usar os seguintes fatos:

Se for a representação de um ponto em relação a um conjunto de eixos e for a representação de após a rotação dos eixos de um ângulo , então

Se , a equação pode ser transformada na equação onde e não são ambos nulos, por uma rotação de eixos de ângulo para o qual .

Nós temos a equação e vamos remover o termo , então utilizaremos a fórmula de (2).

Aqui já podemos peceber que o arco cuja tangente tende ao infinito é . Então e .

Agora para usar o fato 1 precisamos achar e . Usaremos as relações:

Agora vamos usar os dados acima para trocar as coordenadas com a fórmula:

Substituindo na nossa equação, ficamos com:

Simplificando essa expressão efetuando as multiplicações, nós obtemos a equação:

Agora precisamos completar o quadrado para depois efetuar a translação.

Temos então uma equação reduzida de elipse.

Faremos agora a translação de eixos para o centro da elipse que é . Lembre-se que esse centro se refere ao sistema de coordenadas .

Ficamos com a equação:

Essa é a equação de uma elipse na sua forma mais reduzida com origem no sistema .

Como , então o ângulo de rotação foi de . Sendo assim, segue o esboço da elipse com os eixos , os eixos rotacionados e os eixos transladados .

Ei, a resposta está no passo a passo :)