Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.4 - Ex. 14
Nos exercícios de 13 a 22, simplifique a equação dada com uma rotação e uma translação de eixos. Faça um esboço do gráfico e mostre os três conjuntos de eixos.
Passo 1
Vamos começar efetuando uma rotação para eliminar o termo e depois a translação. Para efetuar a rotação, vamos usar os seguintes fatos:
- Se for a representação de um ponto em relação a um conjunto de eixos e for a representação de após a rotação dos eixos de um ângulo , então
- Se , a equação pode ser transformada na equação onde e não são ambos nulos, por uma rotação de eixos de ângulo para o qual .
Nós temos a equação e vamos remover o termo , então utilizaremos a fórmula de (2).
Passo 2
Agora para usar o fato 1 precisamos achar e . Usaremos as relações:
Como , podemos montar o seguinte triângulo e achar as relações.
Com , temos:
Passo 3
Agora vamos usar os dados acima para trocar as coordenadas com a fórmula:
Substituindo na nossa equação, ficamos com:
Simplificando essa expressão efetuando as multiplicações, nós obtemos a equação:
Passo 4
Agora precisamos completar o quadrado para depois efetuar a translação.
Temos então uma equação reduzida de elipse.
Faremos agora a translação de eixos para o centro da elipse que é . Lembre-se que esse centro se refere ao sistema de coordenadas .
Ficamos com a equação:
Essa é a equação de uma elipse na sua forma mais reduzida com origem no sistema .
Passo 5
Como , então o ângulo de rotação foi de aproximadamente . Sendo assim, segue o esboço da elipse com os eixos , os eixos rotacionados e os eixos transladados .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)