Prove o Teorema 2.10.2.

Passo 1

Seja underset(x -> c)(lim) f ( x ) = L . Por hipótese L < 0 . Aplicando a Definição 2.1.1 e tomando ϵ = (1)/(2) L , existe um delta > 0 tal que

Se 0 < |x - c| < delta , então |f (x) - L| < (1)/(2) L

Se 0 < |x - c| < delta , então |f (x) - L| < (1)/(2) L

Passo 2

Também, |f (x) + L| < (1)/(2) L equivale a - (1)/(2) L < f (x) - L < (1)/(2) L , o que por sua vez equivale a (1)/(2) L < f (x) < (3)/(2) L .

Passo 3

Também, 0 < |x - c| < delta equivale a - delta < x - c < delta , o que por sua vez equivale a c - delta < x < c + delta , mas x != c <=> x está no intervalo aberto (c - delta , c + delta) , mas x != c

Passo 4

Com isso podemos afirmar que

Se x está no intervalo aberto (c - delta , c + delta) , mas x != c , então (1)/(2) L < f (x) < (3)/(2) L .

Como L no intervalo de f (x) não sofreu mudança de sinal, então temos que L < 0 ainda se mantém e segue que f (x) < 0 para todo x != c no intervalo aberto (c - delta , c + delta) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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