Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear - 2ª Edição - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle- Ed: 2º - Capítulo 7.5 - Ex. 24

Efetuar uma rotação nos eixos coorenados a fim de eliminar o termo em . Identificar a cônica e escrever sua equação no sistema obtido após a rotação. Esboçar o gráfico.

Passo 1

Vamos resolver pelo método dos invariantes. Vamos dar mais uma olhada em como se faz esse método. Vou repetir mais uma vez! É assim: a equação completa da cônica é:

Quando a gente fizer a rotação da cônica, o termo em vai sumir. A gente chama de invariantes porque tem algumas expressões que não mudam o valor, nem quando a gente roda a cônica. São eles:

Essas letras, , , e serão os coeficientes da equação da cônica, já desrotacionada. Repara no seguinte: , já que estamos com a cônica desrotacionada. Tem que saber também que esse da segunda equação é o ângulo de rotação da cônica, que a gente calcula como:

Se por acaso , a tangente vai tender ao infinito. Isso quer dizer que , e aí o ângulo de rotação . Beleza, já relembramos tudo, agora vamos resolver essa parada.

Passo 2

A equação da nossa cônica é:

Comparando com a equação completa da cônica, a gente tem:

Vamos encontrar o ângulo de rotação:

Essa tangente aí não pode não, Arnaldo! Essa parada de dividir por zero não existe Esse é o caso que eu falei! Essa é a rotação que tem e iguais, então o ângulo de rotação é , e aí .