Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 13
Nos exercícios de 13 a 32, faça um esboço do gráfico da função f dada, determinando primeiro o seguinte: os extremos relativos de f; os pontos de inflexão do gráfico; os intervalos nos quais f é crescente e aqueles onde f é decrescente; onde o gráfico é côncavo para cima e onde é côncavo para baixo; a inclinação das tangentes inflexionais, assíntotas horizontal, vertical e oblíqua, se existirem.
Passo 1
Seja . Como não temos um método fácil de obtenção de raízes em um polinômio do 3º grau, começaremos testando raízes inteiras. Dessa forma, como o polinômio só tem coeficientes inteiros, a raiz tem que ser divisora de ou seja, Começando pelo mais simples, testaremos
Logo, é raiz. Como isso, utilizando Briot-Ruffini para diminuirmos o grau, teremos:
Logo, teremos que Vemos que, por produtos notáveis, . Dessa maneira, também é raiz de e a parcela não interfere no sinal de .
Passo 2
Calculando teremos:
Pelo fatoramento da função vemos que são raízes. Além disso, teremos a tabela seguinte:
Passo 3
Calculando , teremos:
Dessa forma temos que a raiz de . Além disso, vemos que:
Logo, temos que a inclinação da tangente inflexional será .
Passo 4
Passo 5
Agora, com todos os dados obtidos e calculando alguns pontos da função, chegaremos ao gráfico:
E os valores de máximo e mínimo relativos são, respectivamente, e
Resposta
Os extremos relativos de .
O ponto de inflexão de .
A função é crescente em e decrescente em .
O gráfico é côncavo para baixo em e côncavo para cima em .
A inclinação da tangente inflexional é .
Gráfico:
