Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 59

Faça o gráfico da curva

Passo 1

Inicialmente vamos considerar e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

Observe que o domínio de corresponde ao conjunto dos números Reais, exceto por , já que quando substituímos esse valor na função acontece uma divisão por zero, que é uma indeterminação matemática.

Sendo assim, o gráfico de está definida para todo

Passo 2

Em seguida verificaremos, se possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo

Para isso faremos perceba que como estamos com uma divisão de polinômios, precisamos apenas igualar o numerador a zero, ou seja,

Sendo assim, é uma raiz para ,ou seja,

Logo, o gráfico de toca o eixo duas vezes.

Passo 3

Determinaremos agora e , para em seguida verificarmos se possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do quociente,

Calculando a segunda derivada utilizando a regra quociente e a regra da cadeia,

Passo 4

Vamos agora identificar se possui pontos críticos

Em relação aos pontos de inflexão temos que

Perceba que, para valores dentro do intervalo , assume valores negativos ( decresce). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores positivos (cresce). Logo, é um ponto de mínimo no intervalo de

Passo 5

Vamos agora identificar se possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

No entanto, a raiz quadrada de um número negativo não existe nos reais. Sendo assim, não possui pontos críticos em seu domínio e consequentemente não tem mudança de concavidade.