Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 58

Faça o gráfico da curva

Passo 1

Inicialmente vamos considerar e observar o que essa função tem a nos “dizer”.

Observe que o domínio de corresponde ao conjunto dos números Reais, exceto por , já que quando substituímos esse valor na função acontece uma divisão por zero, que é uma indeterminação matemática.

Sendo assim, o gráfico de está definida para todo

Passo 2

Em seguida verificaremos, se possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo

Para isso faremos perceba que como estamos com uma divisão de polinômios, precisamos apenas igualar o numerador a zero, ou seja,

Logo, é uma raíz para pois

Sendo assim toca o eixo apenas uma vez.

Passo 3

Determinaremos agora e , para em seguida verificarmos se possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,

Pela regra do quociente,

Calculando a segunda derivada utilizando a regra quociente e a regra da cadeia,

Passo 4

Vamos agora identificar se possui pontos críticos

Em relação aos pontos de inflexão temos que

Porém, raízes de índices par, cujo argumento é um número negativo , não existem . Sendo o domínio de não possui nenhum ponto critico, consequentemente, não possui pontos de máximo ou pontos de mínimo.

Passo 5

Vamos agora identificar se possui pontos de inflexão

Em relação aos pontos de inflexão temos que

Perceba que, para valores dentro do intervalo , assume valores positivos (tem concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores negativos ( tem concavidade para baixo). Logo, é um ponto de inflexão no intervalo de ou seja, possui uma mudança de concavidade nesse ponto.

Já, para valores dentro do intervalo , assume valores negativos (tem concavidade para baixo). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores negativos ( tem concavidade para cima). Logo, é um ponto de inflexão no intervalo de ou seja, possui uma mudança de concavidade nesse ponto.