Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.Exercícios Práticos - Ex. 58
Faça o gráfico da curva
Passo 1
Inicialmente vamos considerar e observar o que essa função tem a nos “dizer”.
Observe que o domínio de corresponde ao conjunto dos números Reais, exceto por , já que quando substituímos esse valor na função acontece uma divisão por zero, que é uma indeterminação matemática.
Sendo assim, o gráfico de está definida para todo
Passo 2
Em seguida verificaremos, se possui raízes, ou seja, se o gráfico toca o eixo
Para isso faremos perceba que como estamos com uma divisão de polinômios, precisamos apenas igualar o numerador a zero, ou seja,
Logo, é uma raíz para pois
Sendo assim toca o eixo apenas uma vez.
Passo 3
Determinaremos agora e , para em seguida verificarmos se possui máximos, mínimos ou pontos de inflexão. Dessa maneira temos que,
Pela regra do quociente,
Calculando a segunda derivada utilizando a regra quociente e a regra da cadeia,
Passo 4
Vamos agora identificar se possui pontos críticos
Em relação aos pontos de inflexão temos que
Porém, raízes de índices par, cujo argumento é um número negativo , não existem . Sendo o domínio de não possui nenhum ponto critico, consequentemente, não possui pontos de máximo ou pontos de mínimo.
Passo 5
Vamos agora identificar se possui pontos de inflexão
Em relação aos pontos de inflexão temos que
Perceba que, para valores dentro do intervalo , assume valores positivos (tem concavidade para cima). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores negativos ( tem concavidade para baixo). Logo, é um ponto de inflexão no intervalo de ou seja, possui uma mudança de concavidade nesse ponto.
Já, para valores dentro do intervalo , assume valores negativos (tem concavidade para baixo). E para valores dentro do intervalo , irá assumir valores negativos ( tem concavidade para cima). Logo, é um ponto de inflexão no intervalo de ou seja, possui uma mudança de concavidade nesse ponto.
Passo 6
Para finalizar verificaremos se possui assíntotas verticais ou horizontais.
No que se refere as assíntotas horizontais temos que
Logo, não possui assíntotas horizontais.
No que se refere as assíntotas verticais, perceba que apesar de não estar definida em , este ponto é uma assíntota vertical para , pois
e
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)