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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 27

Nos Exercícios de 15-34, use qualquer método para calcular as integrais. A maioria exigirá substituições trigonométricas, mas algumas podem ser calculadas por outros métodos.

27.

∫ ( 1 - x 2 ) 3 2 x 6       d x

Passo 1

O enunciado pede para gente calcular o valor dessa integral.

Vamos usar essa imagem de referência para os casos onde serão necessárias substituições trigonométricas.

Esse caso se encaixa no caso II.

Passo 2

Vamos usar a substituição onde

x = s e n   u d x = cos ⁡ u   d u

Lembrando também a relação trigonométrica

1 - s e n 2 ѳ = c o s 2 ѳ

E aí podemos dizer que

1 - x 2 = 1 - s e n 2 u = cos ⁡ u

E aí nossa integral fica

∫ ( 1 - x 2 ) 3 2 x 6       d x = ∫ ( cos ⁡ u ) 3 s e n 6 u       cos ⁡ u   d u =   ∫ cos 4 ⁡ u s e n 6 u d u = ∫ c o t 4 u ⋅ c s c 2 u d u

Passo 3

Agora vamos resolver essa integral

∫ c o t 4 u ⋅ c s c 2 u d u Vamos usar a substituição

v = cot ⁡ u d v = - c s c 2 u   d u

Então ficaremos com

∫ c o t 4 u ⋅ c s c 2 u d u = - ∫ v 4 d v = - 1 5   v 5 + C

Isso nos dá

- 1 5   v 5 + C = - 1 5 c o t 5 u + C

Passo 4

Mas x = s e n   u     e 1 - x 2 = cos ⁡ u

Então cot ⁡ u =   cos ⁡ u s e n   u =   1 - x 2 x

Logo

- 1 5 c o t 5 u + C = - 1 5 1 - x 2 x 5 + C

Resposta

- 1 5 1 - x 2 x 5 + C

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