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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.5 - Ex. 56

Nos Exercícios 51-56, calcule as integrais fazendo uma substituição (possivelmente trigonométrica) e, em seguida, aplique uma fórmula de redução.

56-

∫ 0 1 / 3 d t t 2 + 1 7 2

Passo 1

Da tabela de integrações trigonométricas inversas temos:

a 2 - x 2 → u s e   x = a   s e n   u

a 2 + x 2 → u s e   x = a   t g   u

x 2 - a 2 → u s e   x = a sec ⁡ u

Como temos a variável t e uma função t 2 + 1 no denominador logo teremos que aplicar a substituição t = t g   u

O que nos dará um d t igual a:

d t = sec 2 ⁡ u   d u

Substituindo esses valores na integral que por enquanto será indefinida nós teremos:

∫ sec 2 ⁡ u   d u t g 2 u + 1 7 2

Passo 2

Porém podemos substituir esse denominador por algo melhor, pois assim como na questão passada temos que :

sec 2 ⁡ u = t g 2 u + 1

Substituindo na integral nós teremos:

∫ sec 2 ⁡ u   d u sec 7 ⁡ u = ∫ 1 s e c 5 u d u = ∫ cos 5 ⁡ u   d u

Para realizar essa integral vamos utilizar a fórmula 68 da página 631 que nos diz:

Que nos dá como resultado dessa integral a expressão para a = 1 e n = 5 :

∫ cos 5 ⁡ u   d u = cos 4 ⁡ u   s e n   u 5 + 4 5 ∫ cos 3 ⁡ u   d u

Utilizando de novo a fórmula para encontrar a integral de cos 3 ⁡ u nós teremos para a = 1 e n = 3 :

∫ cos 5 ⁡ u   d u = cos 4 ⁡ u   s e n   u 5 + 4 5 cos 2 ⁡ u   s e n   u 3 + 2 3 ∫ cos ⁡ u   d u

∫ cos 5 ⁡ u   d u = cos 4 ⁡ u   s e n   u 5 + 4 15 cos 2 ⁡ u   s e n u + 8 15 sin ⁡ u   + c

Passo 3

Porém precisamos aplicar um intervalo nessa questão e pela cara da expressão não é nem um pouco conveniente utilizar t como parâmetro, então vamos adequar os parâmetros para o domínio de u .

t = t g   u

u = t g - 1 t

Para t = 0 nosso u será:

u = t g - 1 0 = 0

Para t = 1 / 3 nosso u será:

u = t g - 1 1 3 → t g   u = 1 3 = π 6

Aplicando agora esse intervalo de u na nossa integral nós teremos:

∫ 0 π 6 cos 5 ⁡ u   d u =   cos 4 ⁡ u   s e n   u 5 + 4 15 cos 2 ⁡ u   s e n u + 8 15 sin ⁡ u     0 π / 6  

O que dá:

cos 4 ⁡ π 6 s e n π 6 5 + 4 15 cos 2 ⁡ π 6   s e n π 6 + 8 15 sin ⁡ π 6 - 0

3 2 4 × 1 2 × 1 5 + 4 15 3 2 2 1 2 + 8 15 1 2 = 9 160 + 12 120 + 8 30 = 203 480  

Resposta

203 480

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