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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.3 - Ex. 40

Nos Exercícios 35-48, utilize uma substituição apropriada e, em seguida, uma substituição trigonométrica para calcular as integrais.

∫ d x 1 + x 2

Passo 1

Vamos começar mudando a variável.

x = tan ⁡ θ

Derivando dos dois lados:

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Substituindo na integral:

∫ d x 1 + x 2 = ∫ sec 2 ⁡ θ d θ 1 + tan 2 ⁡ θ

Lembrando das relações trigonométricas:

sec 2 ⁡ θ = 1 + tan 2 ⁡ θ

Assim,

∫ sec 2 ⁡ θ d θ 1 + tan 2 ⁡ θ = ∫ sec 2 ⁡ θ d θ sec 2 ⁡ θ = ∫ d θ = θ + C

Revertendo para a variável original:

θ + C = arc tan ⁡ x + C

Resposta

arctan ⁡ x + C

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