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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.8 - Ex. 13

Nos exercícios de 1 a 16, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se existir algum (13) f x = x ( x ² + 4 ) 3 / 2 ; [ 0 , ∞ ) .

Passo 1

Vamos encontrar as derivadas primeira e segunda da função:

f ' x = x 2 + 4 3 2 - x * 3 2 x 2 + 4 1 2 2 x x 2 + 4 3 = x 2 + 4 3 2 - x * 3 2 x 2 + 4 1 2 2 x x 2 + 4 3 f ' x = x 2 + 4 3 2 - 3 2 x 2 + 4 1 2   2 x 2 x 2 + 4 3 = x 2 + 4 3 2 - 3 x 2 + 4 1 2 x 2 x 2 + 4 3 f ' x = x 2 + 4 1 2 x 2 + 4 - 3 x 2 ( x 2 + 4 ) 3 = x 2 + 4 - 3 x 2 ( x 2 + 4 ) 5 / 2 = - 2 x 2 + 4 ( x 2 + 4 ) 5 / 2

f ' ' x = - 4 x x 2 + 4 5 2 - - 2 x 2 + 4 5 2 x 2 + 4 3 2 2 x ( x 2 + 4 ) 5

f ' ' x = - 4 x x 2 + 4 5 2 - 5 ( - 2 x 2 + 4 ) x 2 + 4 3 2 x x ² + 4 5 f ' ' x = - 4 x x 2 + 4 5 2 + 10 x 3 x 2 + 4 3 2 - 20 x x 2 + 4 3 2 x ² + 4 5

Passo 2

A primeira derivada vai nos indicar se há pontos críticos na função. Vamos igualar a expressão encontrada no passo anterior.

- 2 x 2 + 4 ( x 2 + 4 ) 5 / 2 = 0

A expressão será igual a zero quando o denominador for igual a zero. Assim:

- 2 x 2 + 4 = 0 2 x 2 = 4 x 2 = 2 x = ± 2

O valor crítico é x = 2 pois o intervalo só considera valores positivos.

Passo 3

Vamos avaliar os pontos críticos na segunda derivada para encontrarmos os pontos de mínimo ou máximo local.

  • Para x = 2

f ' ' 2 = - 4 2 2 2 + 4 5 2 + 10 2 3 ( 2 ) 2 + 4 3 2 - 20 2 2 2 + 4 3 2 2 2 + 4 5 f ' ' 2 = - 4 2 6 5 2 + 20 2 6 3 2 - 20 2 6 3 2 ( 6 ) 5 = - 2 * 6 5 2 1944

x = 2 é um máximo local porque o valor da segunda derivada é positivo.

Passo 4

Avaliando na função os pontos extremos do nosso intervalo temos:

f 0 = 0 0 2 + 4 3 2 = 0 f ∞ = 0

Agora vamos olhar o ponto crítico na função.

f 2 = 2 ( 2 2 + 4 ) 3 2 = 2 ( 6 ) 3 / 2  

Como f 2 > f 0 ≥ f ( ∞ ) , temos aqui um máximo absoluto.

Resposta

Portanto, o valor extremo de f ( x ) é:

x = 2   u m   m á x i m o   a b s o l u t o .

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