Encontrar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos relativos das seguintes funções:

j)

Se derivarmos a função que nos foi dada, teremos:

Então galera, pelo resultado temos que para a derivada da função é constante e positiva, ou seja, é um intervalo totalmente crescente, não é mesmo? No entanto, para a segunda derivada, que é , temos que para a função ser crescente . Resumindo o raciocínio, temos que:

Intervalos crescentes: .

Intervalos decrescentes: .

Agora que a primeira parte foi resolvida, temos que para descobrirmos quais são os máximos e mínimos de uma função existe um método bastante eficaz que utiliza derivação, assim como abordado no capítulo 5 da Flemming e Gonçalves. Vocês devem concordar que se um ponto é ponto de máximo ou mínimo, então sua derivada é nula nesse mesmo ponto, não é? Tendo isso em vista, devemos inicialmente descobrir os pontos críticos da função pela derivada primeira e, em seguida, analisar esses pontos críticos na função de fato. Fica tranquilo, vamos passo a passo!

Derivando nossa função, teremos:

Agora que encontramos nossa derivada, igualando-a a zero, teremos:

O primeiro caso é um completo absurdo, não é mesmo? Por mais que para o segundo caso ainda exista solução, que é para , por não satisfazer a primeira equação, então temos que a função em é indefinida! Além disso, a função também é indefinida em . Sendo assim, esses são os pontos críticos que temos. Como a questão não definiu nenhum intervalo para a função em questão, vamos substituir esses pontos na nossa função original para ver do que se trata, se liga:

Portanto, pelo resultado:

Máximo da função: ;

Mínimo da função: .

E estão aí nossos máximos e mínimos!