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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 28

Nos Exercícios de 19 a 32, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

28 )   ∫ 0 + ∞ 3 - x x . d x  

Passo 1

Para começar, quando temos um extremo superior infinito e um limite inferior que gera uma determinação no denominador. Então, podemos usar a igualdade:

∫ 0 + ∞ 3 - x x . d x   = lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 3 - x x . d x   + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b 3 - x x . d x  

Resolvendo por substituição:

u = - x

d u = - 1 2 x . d x

- 2 d u = 1 x . d x

Substituindo:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 3 - x x . d x   + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b 3 - x x . d x   = - 2 . lim a → 0 + ⁡ ∫ a 1 3 u . d u   + lim b → + ∞ ⁡ ∫ 1 b 3 u . d u ]   = - 2 . l i m a → 0 + 3 u ln ⁡ 3 1 a + l i m b → + ∞   3 u ln ⁡ 3 b 1 = - 2 ln ⁡ 3 3 - 1 - 3 - 0 + 3 - b - 3 - 1 = - 2 ln ⁡ 3 - 1 + 0 = 2 ln ⁡ 3

Sendo assim, a integral converge para 2 ln ⁡ 3 .

Resposta

∫ 0 + ∞ 3 - x x . d x   = 2 ln ⁡ 3

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