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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 23

Nos Exercícios de 19 a 32, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule-a.

23 )   ∫ 0 π 4 c o t g ² θ . d θ  

Passo 1

Para começar, devemos lembrar que:

c o t g   θ = cos ⁡ θ s e n   θ

No intervalo analisado, quando θ = 0 , s e n   θ = 0 . Para resolvermos esta indeterminação podemos usar a igualdade:

∫ 0 π 4 c o t g ² θ . d θ   = lim a → 0 + ⁡ ∫ a π 4 c o t g ² θ . d θ  

Lembrando que:

c o t g ²   θ = c o s e c ² θ - 1  

Substituindo:

lim a → 0 + ⁡ ∫ a π 4 c o t g ² θ . d θ   = lim a → 0 + ⁡ ∫ a π 4 ( c o s e c ² θ - 1   ) . d θ   = lim a → 0 + ⁡ ∫ a π 4 c o s e c ² θ . d θ   - lim a → 0 + ⁡ ∫ a π 4 d θ   = l i m a → 0 + - c o t g   θ π 4 a - θ π 4 a = l i m a → 0 + - c o t g   π 4 - c o t g   a - π 4 - a = l i m a → 0 + - 1 - ∞ - π 4 = + ∞

Sendo assim, a integral é divergente.

Resposta

∫ 0 π 4 c o t g ² θ . d θ   → D i v e r g e n t e !

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