Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 27

Calcule as integrais que convirjam.

int_(- 1)^8 x^(- 1 // 3) d x

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_(- 1)^8 x^(- 1 // 3) d x

O integrando não está definido para um valor entre os limites superior e inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_(- 1)^8 x^(- 1 // 3) d x = underset(a -> 0^-)(lim) int_(- 1)^a x^(- 1 // 3) d x + underset(b -> 0^+)(lim) int_b^8 x^(- 1 // 3) d x

Assim, caso um dos dois limites não existir, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, os dois limites devem existir.

Passo 3

Assim, podemos verificar um limite de cada vez para fazer essa análise.

Dessa forma, resolvendo o primeiro limite (a escolha de qual limite resolver primeiro fica a seu critério, beleza?) de forma direta, teremos:

underset(a -> 0^-)(lim) int_(- 1)^a x^(- 1 // 3) d x = underset(a -> 0^-)(lim) [(3)/(2) x^(2 // 3)] | [[a],[-,1]]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

underset(a -> 0^-)(lim) int_(- 1)^a x^(- 1 // 3) d x = (3)/(2) underset(a -> 0^-)(lim) [(a)^(2 // 3) - (- 1)^(2 // 3)] | [[a],[-,1]]

Logo:

underset(a -> 0^-)(lim) int_(- 1)^a x^(- 1 // 3) d x = - (3)/(2)

Como um dos limites resultou em um valor inteiro, é necessário calcular o outro limite para verificar se a integral será convergente ou não.

Passo 5

Com isso, precisamos resolver o outro limite através do mesmo método. Logo:

underset(b -> 0^+)(lim) int_b^8 x^(- 1 // 3) d x = underset(b -> 0^+)(lim) [(3)/(2) x^(2 // 3)] | [[8],[b]]

Passo 6

Novamente, substituindo o intervalo de integração:

underset(b -> 0^+)(lim) int_b^8 x^(- 1 // 3) d x = (3)/(2) underset(b -> 0^+)(lim) [(8)^(2 // 3) - (b)^(2 // 3)]

Logo:

underset(b -> 0^+)(lim) int_b^8 x^(- 1 // 3) d x = (3)/(2) (4) = 6

Passo 7

Portanto, como ambos os limites resultam em valores inteiros, a integral será dada pela soma deles, tal que:

int_(- 1)^8 x^(- 1 // 3) d x = - (3)/(2) + 6

Logo:

int_(- 1)^8 x^(- 1 // 3) d x = (9)/(2)

Resposta

int_(- 1)^8 x^(- 1 // 3) d x = (9)/(2)

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