Uma mola tem um comprimento natural de 10 cm e uma força de 30 dinas a estica até 11 1 2 cm. (a) Ache o trabalho realizado ao esticar a mola de 10 para   12 cm.

Passo 1

O exercício quer o trabalho realizado ao esticar a mola, mas antes de sair aplicando a formula do trabalho precisamos descobrir a função da força, para isso usaremos a Lei de Hooke:

f ( x ) = k x

Nos é fornecida uma situação da mola, quando aplicada uma força de 30 dinas é esticada até 11 1 2 cm, como a mola em repousa tem 10 cm, essa é nossa origem e o deslocamento será de apenas 1 1 2 cm, isso podemos achar o k :

30 = k ⋅ 1 1 2 ∴ 30 = k 3 2

k = 20

Logo, nossa equação da força fica:

f x = 20 x

Agora sim podemos usar a formula do trabalho e encontrar o que o exercício quer:

W = ∫ a b f x   d x

Passo 2

a) Nessa letra queremos encontrar o trabalho realizado ao esticar a mola de 10 para 12cm, mas ela no repouso tem justamente 10 cm, então essa é sua origem, e será deslocado apenas 2 cm, então nossa integral ficará:

W = ∫ x = 0 2 20 x   d x

Passo 3

Agora podemos resolvê-la, encontrando as primitivas da função dada a Regra da Potência:

W = 20 ∫ x = 0 2 x   d x = 20 1 2 x 2 0 2

Como a integral é definida, não precisamos nos preocupar com o C.

Passo 4

Fazendo a subtração com os limites da integral:

W = 20 ⋅ 1 2 2 2 - 0 2

W = 10 ⋅ 4 = 40   e r g s

Resposta

W = 40   e r g s

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