Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 31
Calcule as integrais que convirjam.
Passo 1
Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?
Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.
Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.
Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.
Passo 2
Então, para a nossa respectiva integral
O integrando não está definido para o limite inferior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:
Assim, caso o limite não exista, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, o limite deve existir resultando em um valor inteiro.
Passo 3
Dessa forma, resolvendo o limite pelo método da substituição simples com , tal que e , teremos que:
Quando
Quando
Então:
Resolvendo essa integral pela fórmula da lista de integrais na página do livro Cálculo Vol. - Ed. - ANTON:
Passo 4
Substituindo o intervalo de integração:
Logo:
Como o limite resultou em um valor inteiro, a integral é convergente.