Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 28

Calcule as integrais que convirjam.

int_0^1 (d x)/((x - 1)^(2 // 3))

Passo 1

Faaala aí, pessoal! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Olhando a integral definida dada, precisamos ver se algum valor dentro do intervalo de integração torna o nosso integrando indefinido, ou seja, se a função do integrando não existe pra algum desses valores.

Para o caso em que o intervalo de integração torne a integral indefinida, iremos aplicar um limite a fim de poder resolver o cálculo.

Como conclusão, iremos ter duas possibilidades: se o resultado por infinito ou não existir, a integral diverge. Caso, o resultado for um número, a integral converge.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

int_0^1 (d x)/((x - 1)^(2 // 3))

O integrando não está definido para o limite superior da integral e, por isso devemos aplicar o limite. Fazendo isso:

int_0^1 (d x)/((x - 1)^(2 // 3)) = underset(a -> 1^-)(lim) int_0^a (d x)/((x - 1)^(2 // 3))

Assim, caso o limite não exista, a integral será divergente. Para que ela seja convegente, o limite deve existir resultando em um valor inteiro.

Passo 3

Dessa forma, resolvendo o limite pelo método da substituição simples com u = x - 1 , tal que d u = d x , teremos que:

Quando x = a -> u = a - 1

Quando x = 0 -> u = - 2

Então:

underset(a -> 1^-)(lim) int_0^a (d x)/((x - 1)^(2 // 3)) = underset(a -> 1^-)(lim) int_(- 2)^(a - 1) (d u)/(u^(2 // 3))

Resolvendo essa integral:

underset(a -> 1^-)(lim) int_0^a (d x)/((x - 1)^(2 // 3)) = underset(a -> 1^-)(lim) [3 u^(1 // 3)] | [[a,-,1],[-,2]]

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

underset(a -> 1^-)(lim) int_0^a (d x)/((x - 1)^(2 // 3)) = 3 underset(a -> 1^-)(lim) [(a - 1)^(1 // 3) - (- 2)^(1 // 3)]

Logo:

underset(a -> 1^-)(lim) int_0^a (d x)/((x - 1)^(2 // 3)) = 3 [- root(3)(- 2)] = 3 root(3)((- 1) (- 2))

:. underset(a -> 1^-)(lim) int_0^a (d x)/((x - 1)^(2 // 3)) = 3 root(3)(2)

Como o limite resultou em um valor inteiro, a integral é convergente.

Resposta

int_0^1 (d x)/((x - 1)^(2 // 3)) = 3 root(3)(2)

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