Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.1 - Ex. 21
Nos exercícios de 19 a 40, determine se a função dada tem uma inversa. Se a inversa existir, determine – a e faça o seguinte: (a) ache o domínio e a imagem; (b) faça esboços dos gráficos da função e de sua inversa, no mesmo conjunto de eixos. Se a função não tiver uma inversa, mostre que uma reta horizontal intercepta o gráfico da função em mais de um ponto.
21.
Passo 1
Para saber se uma função tem inversa, basta verificar se a função biunívoca.
Então temos que verificar se nossa função biunívoca.
Para fazer isso, vamos usar o teorema 7.1.2 do capítulo 7, seção 2, que diz que se uma função for crescente ou decrescente em todo seu domínio ou intervalo, ela é biunívoca.
Para saber se a função é crescente ou decrescente vamos derivar a função e ver se ela é negativa no seu domínio ou positiva.
Passo 2
Vamos derivar a função.
Como a função para e para podemos concluir que é crescente para e decrescente para .
Assim, a função assume os mesmos valores na imagem com o mesmo elemento do domínio, logo ela não é biunívoca, então não admite inversa.
Passo 3
Agora vamos ver o gráfico da função que uma reta horizontal no gráfico toca em mais de um ponto dele.
Com o gráfico podemos ver melhor o fato de a função não ser biunívoca.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)