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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 53

O gráfico da equação abaixo é chamado de tratroz,

x = a senh - 1 ⁡ a 2 y 2 - 1 - a 2 - y 2

Prove que a inclinação da curva em qualquer ponto ( x ,   y ) é:

- y a 2 - y 2

Passo 1

Pessoal, a inclinação da curva é dada pela derivada da função y = f ( x ) , ou seja, d y d x , mas como vocês podem ver na equação, temos x em função de y e isso indica que teremos que derivar a expressão implicitamente.

O primeiro passo nesse tipo de questão é tomar a derivada de ambos os lados da seguinte forma:

d d x x = d d x a senh - 1 ⁡ a 2 y 2 - 1 - a 2 - y 2

E a dica que eu dou aqui é trocar y por f ( x ) que aí você vai perceber o que pode derivar direto e o que não pode, no caso de ter f ( x ) , você não vai poder mexer, certo? Você não sabe que função é essa! Então ficaria o seguinte:

1 = d d x a senh - 1 ⁡ a 2 [ f ( x ) ] 2 - 1 - a 2 - [ f ( x ) ] 2

= d d x a   s e n h - 1 a 2 [ f ( x ) ] 2 - 1 - d d x a 2 - f x 2  

= a d d x   s e n h - 1 a 2 [ f ( x ) ] 2 - 1 - d d x a 2 - f x 2

Passo 2

Agora eu vou derivar uma parcela de cada vez. Primeiro d d x   s e n h - 1 a 2 [ f ( x ) ] 2 - 1 , para isso precisamos saber que:

senh - 1 ⁡ u ' = u ' u 2 + 1

Então,

d d x   s e n h - 1 a 2 [ f ( x ) ] 2 - 1 = a 2 f x 2 - 1 ' a 2 f x 2 - 1 2 + 1

= a 2 f x 2 - 1 ' a 2 f x 2 - 1 + 1 = a 2 f x 2 - 1 ' a 2 f x 2 = a 2 f x 2 - 1 ' a f x

Vamos achar a 2 f x 2 - 1 ' = a 2 f x - 2 - 1 1 2 ' utilizando a derivada u n ' = n u n - 1 ⋅ u ' .

a 2 f x - 2 - 1 1 2 ' = 1 2 a 2 f x - 2 - 1 1 2 - 1 ⋅ a 2 f x - 2 - 1 '

= 1 2 a 2 f x - 2 - 1 - 1 2 ⋅ a 2 ( - 2 ) f x - 2 - 1 f x '

= - 2 a 2 f x - 3 f x ' 2 a 2 f x - 2 - 1 = - a 2 f x ' f x 3 a 2 f x - 2 - 1

Sendo assim,

d d x   s e n h - 1 a 2 [ f ( x ) ] 2 - 1 = - a 2 f x ' f x 3 a 2 f x - 2 - 1 a f x = - a 2 f x ' | f x | | a | f x 3 a 2 f x - 2 - 1

Vamos considerar a > 0 . Então:

d d x   s e n h - 1 a 2 [ f ( x ) ] 2 - 1 = - a 2 f x ' | f x | a f x 3 a 2 f x - 2 - 1 = - a f x ' | f x | f x 3 a 2 f x - 2 - 1

Paramos aqui por enquanto.

Passo 3

Agora eu vou pegar d d x a 2 - f x 2 = d d x [ a 2 - f x 2 1 2 ] usando u n ' = n u n - 1 ⋅ u ' .

d d x a 2 - f x 2 1 2 = 1 2 a 2 - f x 2 1 2 - 1 ⋅ ( a 2 - f x 2 ) '

= 1 2 a 2 - f x 2 - 1 2 ⋅ - 2 f x f ' x = - 2 f x f ' x 2 a 2 - f x 2 = - f x f ' x a 2 - f x 2

d d x a 2 - f x 2 = - f x f ' x a 2 - f x 2

Passo 4

Agora vamos substituir as derivadas do passo 2 e 3, em:

1 = a d d x   s e n h - 1 a 2 [ f ( x ) ] 2 - 1 - d d x a 2 - f x 2

1 = a - a f x ' | f x | f x 3 a 2 f x - 2 - 1 - - f x f ' x a 2 - f x 2

Só falta agora trocar f ( x ) por y de novo e onde está f ’ ( x ) eu vou colocar d y d x .

1 = - a 2 | y | d y d x y 3 a 2 y 2 - 1 + y d y d x a 2 - y 2

Passo 5

O último passo é deixar d y d x isolado.

1 = - a 2 | y | d y d x y 3 a 2 y 2 - 1 + y d y d x a 2 - y 2 = - a 2 | y | y 3 a 2 - y 2 y 2 d y d x + y a 2 - y 2 d y d x

1 = - a 2 | y | y 3 a 2 - y 2 y d y d x + y a 2 - y 2 d y d x = - a 2 | y | | y | y 3 a 2 - y 2 d y d x + y a 2 - y 2 d y d x

1 = - a 2 y 2 y 3 a 2 - y 2 d y d x + y a 2 - y 2 d y d x

1 = - a 2 y a 2 - y 2 d y d x + y 2 y a 2 - y 2 d y d x = y 2 - a 2 y a 2 - y 2 d y d x

1 = y 2 - a 2 y a 2 - y 2 d y d x

d y d x = y a 2 - y 2 y 2 - a 2 ⋅ a 2 - y 2 a 2 - y 2 = y a 2 - y 2 y 2 - a 2 a 2 - y 2 = - y ( y 2 - a 2 ) ( y 2 - a 2 ) a 2 - y 2

d y d x = - y a 2 - y 2

Procedimento padrão de derivação implícita. Está demonstrado o resultado! Lembrando que a derivada nos dá a inclinação pedida.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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