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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 27

Nos Exercícios de 21 a 36, use o método desta secção para calcular a área da região dada; use retângulos inscritos ou circunscritos, conforme inficado. Para cada exercício, faça uma figura mostrando a região e o i-ésimo retângulo.

27. A região à esquerda da reta x = 1 , limitada pela curva e as retas do Exercício 25; retângulos circunscritos.

Passo 1

A região do exercício 25 é:

A região e o i-ésimo retângulo cirucunscrito estão na figura. O intervalo fechado é [ - 2,1 ] e a função é y = 4 - x 2 . Sendo assim,

Δ x = 1 - ( - 2 ) n = 3 n

f x i = 4 - - 2 + i 3 n ⏟ x i 2 = 4 - 4 - 12 i n + 3 i n 2 = 12 i n - 9 i 2 n 2

A = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i Δ x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 12 i n - 9 i 2 n 2 3 n   = lim n → + ∞ ⁡ 3 n 2 ∑ i = 1 n 12 i - 9 i 2 n  

= lim n → + ∞ ⁡ 3 n 2 12 ∑ i = 1 n i -   9 n ∑ i = 1 n i 2   = lim n → + ∞ ⁡ 3 n 2 12 ∑ i = 1 n i -   9 n ∑ i = 1 n i 2  

Passo 2

Agora vamos usar as fórmulas dos somatórios e calcular o limite.

∑ i = 1 n 1 ⏞ I = n                                 ∑ i = 1 n i ⏞ = I I n ( n + 1 ) 2                           ∑ i = 1 n i 2 ⏞ I I I = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

A = lim n → + ∞ ⁡ 3 n 2 12 n n + 1 2 -   9 n n n + 1 2 n + 1 6

A = lim n → + ∞ ⁡ 3 12 n n + 1 2 n 2 -   9 n + 1 2 n + 1 6 n 2

A = lim n → + ∞ ⁡ 3 12 1 + 1 n 2 -   9 1 + 1 n 2 + 1 n 6

A = ⁡ 3 12 1 + 0 2 -   9 1 + 0 2 + 0 6 = 18 - 9 = 9

Logo, a área é 9   u . a .

Resposta

A = 9   u . a

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