Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 30

Aproxime a integral usando a regra de Simpson S 10 e compare sua resposta com aquela produzida por algum recurso computacional provido de integração numérica. Expresse suas respostas com pelo menos quatro casas decimais.

∫ 1 2 ln ⁡ x 3 / 2 d x

Passo 1

E aíííí, galerinha! Prontos pra mais um exercício com o Responde Aí?

Bom, para esse exercício em questão, a ideia é bem simples. Vamos resolver da maneira mais trivial: apenas calculando a integral aplicando a fórmula da regra citada.

Assim, lembrando que a fórmula da aproximação é dada por:

S n = 1 3 b - a n y 0 + 4 y 1 + y 3 + … + y n - 1 + 2 y 2 + y 4 + … + y n - 2 + y n

Podemos montar uma tabela para cada valor de y nos n subintervalos a fim de facilitar o nosso trabalho.

Para esse caso temos os seguintes valores:

n = 10 ,   a = 1 ,   b = 2

Ainda, o software usado para calcular a integral será o WolframAlpha e o resultado obtido será comparado ao encontrado na regra em questão.

Passo 2

Então, para a nossa respectiva integral

∫ 1 2 ln ⁡ x 3 / 2 d x

Temos que y = f x = ln ⁡ x 3 / 2 . Então, podemos montar a seguinte tabela:

Então, a aproximação se dará por:

S 10 = 1 3 2 - 1 10 7 , 959863

Portanto:

S 10 = 0,265329

Passo 3

Agora, através do Software citado na explicação obtemos:

∫ 1 2 ln ⁡ x 3 / 2 d x ≈ 0,26528

Observando os dois resultados, conseguimos ver que a regra de Simpson nos dá resultados praticamente exatos com um erro bem pequeno se comparado ao do software. Calculando o erro da nossa aproximação temos:

E S = 0,26528 - 0,265329 × 100 %

Então:

E S = 0 , 0049 %

Resposta

S 10 = 0,265329

∫ 1 2 ln ⁡ x 3 / 2 d x ≈ 0,26528

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