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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 29

Nos Exercícios de 21 a 36, use o método desta secção para calcular a área da região dada; use retângulos inscritos ou circunscritos, conforme inficado. Para cada exercício, faça uma figura mostrando a região e o i-ésimo retângulo.

29. A região limitada por y = 3 x 4 , pelo eixo x e pela reta x = 1 ; retângulos inscritos.

Passo 1

A região do exercício 27 é:

A região e o i-ésimo retângulo inscrito estão na figura. O intervalo fechado é [ 0 , 1 ] e a função é y = 3 x 4 . Sendo assim,

Δ x = 1 - 0 n = 1 n

f x i - 1 = 3 0 + ( i - 1 ) 1 n ⏟ x i - 1 4 = 3 n 4 i - 1 4 = 3 n 4 i 4 - 4 i 3 + 6 i 2 - 4 i + 1

A = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i - 1 Δ x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 3 n 4 i 4 - 4 i 3 + 6 i 2 - 4 i + 1 1 n  

lim n → + ∞ 3 n 5 ⁡ ∑ i = 1 n i 4 - 4 i 3 + 6 i 2 - 4 i + 1  

lim n → + ∞ 3 n 5 ⁡ ∑ i = 1 n i 4 - 4 ∑ i = 1 n i 3 + 6 ∑ i = 1 n i 2 - 4 ∑ i = 1 n i + ∑ i = 1 n 1

Passo 2

Agora vamos usar as fórmulas dos somatórios e calcular o limite.

∑ i = 1 n 1 ⏞ I = n                                 ∑ i = 1 n i ⏞ = I I n ( n + 1 ) 2                           ∑ i = 1 n i 2 ⏞ I I I = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

∑ i = 1 n i 3 ⏞ I V = n 2 n + 1 2 4                             ∑ i = 1 n i 4 ⏞ V = n ( n + 1 ) ( 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1 ) 30

A = lim n → + ∞ 3 n 5 ⁡ n ( n + 1 ) ( 6 n 3 + 9 n 2 + n - 1 ) 30 - 4 n 2 n + 1 2 4 + 6 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 - 4 n ( n + 1 ) 2 + n

A = lim n → + ∞ 3 ⁡ n n 1 + 1 n 6 n 3 n 3 + 9 n 2 n 3 + n n 3 - 1 n 3 30 - n 2 n 3 1 + 1 n 2   + n n 3 1 + 1 n 2 + 1 n - 2 n n 4 1 + 1 n + n n 5

A = 3 ⁡ 1 + 0 6 + 0 + 0 - 0 30 - 0 1 + 0 2   + 0 1 + 0 2 + 0 - 0 1 + 0 + 0

A = 3 ⁡ 6 30 = 18 30 = 3 5

Logo, a área é 3 5   u . a .

Resposta

A = 3 5   u . a

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