Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.7 - Ex. 52
Seja uma função positiva, contínua, decrescente e côncava para baixo no intervalo. Suponha que o intervalo esteja subdividido em subintervalos de mesmo comprimento. Arranje as aproximações de a seguir em ordem decrescente de valores: pela extremidade esquerda, pela extremidade direita, pelo ponto médio e trapezoidal.
Passo 1
Precisamos colocar em ordem essas aproximações. Primeiro, podemos lembrar que o Teorema 7.7.1, diz que se uma função é côncava para baixo, temos essa relação:
Ou seja, a aproximação trapezoidal dá um valor menor que a aproximação pelo ponto médio.
Passo 2
Agora a gente lembra que:
O resultado da aproximação trapezoidal é a média entre a aproximação pela extremidade direita e pela extremidade esquerda .
Isso diz para gente que é um valor entre e . Mas quem desses dois é o maior?
Temos que lembrar que na seção 5.4, vimos que, na figura 5.4.9, para uma função descrescente, a aproximação pela esquerda superestima a integral e pela direita, subestima a integral.
Com isso a gente descobre que:
E:
Passo 3
Temos que pensar em mais um detalhe. Vimos que tanto a aproximação pelo ponto médio quanto a aproximação pela extremidade esquerda superestimam a integral. Qual vai dar o maior valor?
A gente tem que lembrar que a aproximação pelo ponto médio é mair precisa que a aproximação pelos extremos. Isso diz para gente que vai estar mais próxima do valor da integral, logo, vai ser menor.
Com toda essa reflexão, nossa ordem descrescente de resultados fica assim:
Resposta
Extremidade esquerda, ponto médio, trapezoidal, extremidade direita