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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 34

Nos Exercícios de 21 a 36, use o método desta secção para calcular a área da região dada; use retângulos inscritos ou circunscritos, conforme inficado. Para cada exercício, faça uma figura mostrando a região e o i-ésimo retângulo.

34. A região do Exercício 33; retângulos inscritos.

Passo 1

A região do exercício é:

A região e o i-ésimo retângulo inscrito estão na figura. Porém no intervalo de [ - 2,0 ] a função é negativa, devido a isso vamos ter que calcular duas somas, uma para o intervalo em que a função é positiva e o que é negativa. No intervalo onde a função é negativa, iremos fazer a soma com o limite negativo para pegar o valor positivo da área.

Passo 2

Vamos começar calculando a área do intervalo [ - 2,0 ] .

Δ x = 0 - ( - 2 ) n = 2 n

f x i - 1 = - 2 + ( i - 1 ) 2 n ⏟ x i - 1 3 + - 2 + i - 1 2 n ⏟ x i - 1 = 2 i - 2 n + 1 3 n 3 + 2 i - 2 ( n + 1 ) n

f x i - 1 = 8 i - n + 1 3 n 3 + 2 n 2 i - 2 n 2 ( n + 1 ) n 3

f x i - 1 = 8 i 3 - 24 n + 1 i 2 + 24 n + 1 2 i - 8 n + 1 3 + 2 n 2 i - 2 n 2 ( n + 1 ) n 3

f x i - 1 = 8 i 3 - 24 n + 1 i 2 + ( 24 n + 1 2 + 2 n 2 ) i - 8 n + 1 3 - 2 n 2 ( n + 1 ) n 3

f x i - 1 = 8 i 3 - 24 n + 1 i 2 + 26 n 2 + 48 n + 24 i + ( - 10 n 3 - 26 n 2 - 24 n - 8 ) n 3

A 1 = - lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i - 1 Δ x

= - lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 8 i 3 - 24 n + 1 i 2 + 26 n 2 + 48 n + 24 i + ( - 10 n 3 - 26 n 2 - 24 n - 8 ) n 3 2 n  

= - lim n → + ∞ ⁡ 2 n 4 ∑ i = 1 n 8 i 3 - 24 n + 1 i 2 + 26 n 2 + 48 n + 24 i + - 10 n 3 - 26 n 2 - 24 n - 8

= - lim n → + ∞ ⁡ 2 n 4 8 ∑ i = 1 n i 3 + - 24 n + 1 ∑ i = 1 n i 2 + 26 n 2 + 48 n + 24 ∑ i = 1 n i + - 10 n 3 - 26 n 2 - 24 n - 8 ∑ i = 1 n 1

Agora vamos usar as fórmulas dos somatórios e calcular o limite.

∑ i = 1 n 1 ⏞ I = n                                 ∑ i = 1 n i ⏞ = I I n ( n + 1 ) 2                           ∑ i = 1 n i 2 ⏞ I I I = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

∑ i = 1 n i 3 ⏞ I V = n 2 n + 1 2 4    

A 1 = - lim n → + ∞ ⁡ 2 n 4 8 n 2 n + 1 2 4 + - 24 n + 1 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 + 26 n 2 + 48 n + 24 n ( n + 1 ) 2 + - 10 n 3 - 26 n 2 - 24 n - 8 n

A 1 = - 2 lim n → + ∞ ⁡ 1 n 4 2 n 2 n + 1 2 - 4 n n + 1 2 ( 2 n + 1 ) + 26 n 2 + 48 n + 24 n ( n + 1 ) 2 + - 10 n 3 - 26 n 2 - 24 n - 8 n

A 1 = - 2 lim n → + ∞ ⁡ 2 n 2 n 2 1 + 1 n 2 - 4 n n 1 + 1 n 2 2 + 1 n + 26 n 2 n 2 + 48 n n 2 + 24 n 2 n n 1 + 1 n 2 + - 10 n 3 n 3 - 26 n 2 n 3 - 24 n n 3 - 8 n 3 n n  

A 1 = - 2 ⁡ 2 1 + 0 2 - 4 1 + 0 2 2 + 0 + 26 + 0 + 0 1 + 0 2 + - 10 - 0 - 0 - 0  

A 1 = - 2 ⁡ 2 - 8 + 13 - 10   = - 2   - 3 = 6

A 1 = 6   u . a

Portanto, essa é a área no intervalo [ - 2,0 ] .

Passo 3

Agora será a área do intervalo [ 0 ,   1 ] .

Δ x = 1 - 0 n = 1 n

f x i - 1 = 0 + ( i - 1 ) 1 n ⏟ x i - 1 3 + 0 + i - 1 1 n ⏟ x i - 1 = i - 1 3 n 3 + i - 1 n

f x i - 1 = i 3 - 3 i 2 + 3 i - 1 n 3 + n 2 i - n 2 n

f x i - 1 = i 3 - 3 i 2 + 3 + n 2 i - 1 - n 2 n 3

A 2 = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f x i - 1 Δ x

= lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n i 3 - 3 i 2 + 3 + n 2 i - 1 - n 2 n 3 1 n  

= lim n → + ∞ ⁡ 1 n 4 ∑ i = 1 n i 3 - 3 i 2 + 3 + n 2 i - n 2 + 1  

A 2 = lim n → + ∞ ⁡ 1 n 4 ∑ i = 1 n i 3 - 3 ∑ i = 1 n i 2 + 3 + n 2 ∑ i = 1 n i - n 2 + 1 ∑ i = 1 n 1

Agora vamos usar as fórmulas dos somatórios e calcular o limite.

∑ i = 1 n 1 ⏞ I = n                                 ∑ i = 1 n i ⏞ = I I n ( n + 1 ) 2                           ∑ i = 1 n i 2 ⏞ I I I = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

∑ i = 1 n i 3 ⏞ I V = n 2 n + 1 2 4    

A 2 = lim n → + ∞ ⁡ 1 n 4 n 2 n + 1 2 4 - 3 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6 + 3 + n 2 n ( n + 1 ) 2 - n 2 + 1 n

A 2 = lim n → + ∞ ⁡ 1 n 4 n 2 n + 1 2 4 - n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 2 + n ( n + 1 ) 3 + n 2 2 - n 2 + 1 n

A 2 = lim n → + ∞ ⁡ n 2 n 2 1 + 1 n 2 4 - n n 2 1 + 1 n 2 + 1 n 2 + n n 1 + 1 n 3 n 2 + n 2 n 2 2 - n 2 n 2 + 1 n 2 n n 2

A 2 = 1 + 0 2 4 - 0 1 + 0 2 + 0 2 + 1 + 0 0 + 1 2 - 1 + 0 0

A 2 = 1 4 + 1 2 = 3 4   u . a

Portanto, essa é a área no intervalo [ 0,1 ] .

Logo, a área A 2 é 3 4   u . a .

Passo 4

A área da região pedida é A = A 1 + A 2 = 6 + 3 4 = 2 7 4   u . a .

Resposta

A = 2 7 4   u . a

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