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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 5.4 - Ex. 39

Nos exercícios de 39 a 44, ache a área da região, tomando como medida da altura do i - é s i m o retângulo   f ( m i ) , onde m i é o ponto médio do i - é s i m o subintervalo. Sugestão: m i = 1 2 x i + x i - 1 .

40. A região do Exercício 21.

Passo 1

A região do exemplo 3 é:

O intervalo da região será [ 0,3 ] e a função é f ( x ) = x 2 . Sendo assim,

Δ x = 3 - 0 n = 3 n

m i = 1 2 x i + x i - 1

f m i = 1 2 x i + x i - 1 ⏟ m i 2 = 1 2 0 + 3 i n + 0 + 3 i - 1 n 2

f m i = 3 i + 3 i - 3 2 n 2 = 6 i - 3 2 4 n 2 = 36 i - 1 2 2 4 n 2 = 9 i - 1 2 2 n 2

A = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n f m i Δ x = lim n → + ∞ ⁡ ∑ i = 1 n 9 i - 1 2 2 n 2 3 n   = lim n → + ∞ ⁡ 27 n 3 ∑ i = 1 n i - 1 2 2

A = lim n → + ∞ ⁡ 27 n 3 ∑ i = 1 n i 2 - i + 1 2

A = lim n → + ∞ ⁡ 27 n 3 ∑ i = 1 n i 2   - ∑ i = 1 n i + 1 2 ∑ i = 1 n 1

Passo 2

Agora vamos usar as fórmulas dos somatórios e calcular o limite.

∑ i = 1 n 1 ⏞ I = n                                 ∑ i = 1 n i ⏞ = I I n ( n + 1 ) 2                           ∑ i = 1 n i 2 ⏞ I I I = n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6

A = lim n → + ∞ ⁡ 27 n 3 n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 ) 6   - n ( n + 1 ) 2 + 1 2 n

A = lim n → + ∞ ⁡ 27 n n 1 + 1 n 2 + 1 n 6   – n n 2 1 + 1 n 2 + 1 2 n n 3

A = 27 1 + 0 2 + 0 6   – 0 1 + 0 2 + 0

A = 27 2 6   = 9

Logo, a área é 9   u . a .

Resposta

A = 9   u . a

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