Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 23

Nos Exercícios 21-26, use derivação implícita para determinar d y d x e depois d ² y d x ² .

23. y 2 = e x ² + 2 x

Passo 1

Então pessoal, assim como manda o manual, ou seja, assim como discutido na seção 7 do George, a técnica que devemos utilizar para derivar essa função implicitamente é a seguinte:

1. Derivar ambos os lados da equação em relação a x , considerando y como uma função derivável de x ;

2. Agrupar os termos que possuem d y d x em um lado da equação e isolar d y d x .

Sabendo disso, já podemos tranquilamente derivar a função que nos foi pedida, beleza? Bora lá!

Passo 2

Aplicando o passo 1, isto é, derivando ambos os membros, teremos:

2 y . d y d x = e x 2 . ln ⁡ e . 2 x + 2

2 y . d y d x = 2 x . e x 2 + 2

Agora aplicando o passo 2, ou seja, isolando a derivada que encontramos, teremos:

d y d x = 2 x . e x 2 + 2 2 y

Passo 3

Como a questão nos pede a derivada de segunda ordem, então temos que derivar mais uma vez a função. No entanto, para derivarmos essa função precisaremos utilizar a regra do quociente, que nos diz o seguinte:

f g ' = f ' . g - f . g ' g ²

d ² y d x ² = 2 . e x 2 + 2 x . e x 2 . 2 x . 2 y - 2 x . e x 2 + 2 . 2 d y d x 4 y ²

Mas d y d x nós já encontramos no passo anterior, então substituindo, teremos:

d ² y d x ² = 2 . e x 2 + 2 x . e x 2 . 2 x . 2 y - 2 x . e x 2 + 2 . 2 . 2 x . e x 2 + 2 2 y 4 y ²

d ² y d x ² = 4 y . e x 2 + 8 x 2 y . e x 2 - 2 x . e x 2 + 2 . 2 x . e x 2 + 2 y 4 y ²

d ² y d x ² = 4 y . e x 2 + 8 x 2 y . e x 2 - ( 2 x . e x 2 + 2 ) ² y 4 y ²

d ² y d x ² = 4 y 2 . e x 2 + 8 x 2 y 2 . e x 2 - ( 4 x 2 . e 2 x 2 + 4 . 2 x . e x 2 + 4 ) 4 y ³

Utilizando as propriedades de potenciação e simplificando, teremos:

d ² y d x ² = y 2 . e x 2 + 2 x 2 y 2 . e x 2 - x 2 . e 2 x 2 - 2 x . e x 2 - 1 y ³

Resposta

d ² y d x ² = y 2 . e x 2 + 2 x 2 y 2 . e x 2 - x 2 . e 2 x 2 - 2 x . e x 2 - 1 y ³

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Exercícios 31-40, verifique se o ponto dado faz parte da curva e determine as retas que são (a) tangentes e (b) normais à curva no ponto dado.33. x 2 y 2 = 9 , - 1,3
Nos Exercícios 29 e 30, determine o coeficiente angular da curva nos pontos indicados.29. y 2 + x 2 = y 4 - 2 x , em ( - 2,1 ) e - 2 , - 1
Nos Exercícios 31-40, verifique se o ponto dado faz parte da curva e determine as retas que são (a) tangentes e (b) normais à curva no ponto dado.35. 6 x 2 + 3 x y + 2 y 2 + 17 y - 6 = 0 ,( - 1,0 )
Nos Exercícios 31-40, verifique se o ponto dado faz parte da curva e determine as retas que são (a) tangentes e (b) normais à curva no ponto dado.34. y 2 - 2 x - 4 y - 1 = 0 , - 2 , 1
Nos Exercícios 29 e 30, determine o coeficiente angular da curva nos pontos indicados.30. x 2 + y 2 2 = x - y 2 , em ( 1 , 0 ) e 1 , - 1