Nos exercícios de 23 a 42, prove que o limite é o número indicado, aplicando a Definição 2.1.1.

26) lim x → 1 ⁡ 4 x + 3 = 7

Passo 1

Para satisfazer a Definição 2.1.1 precisamos mostrar que para todo ϵ > 0 , existe um δ > 0 . Para começar vamos definir os valores de f x ,   a   e   L . Dada a definição de limite:

lim x → a ⁡ f ( x ) = L

Assumimos que:

f x = 4 x + 3

a = 1

L = 7

Sendo assim:

0 < x - 1 < δ

f x - 7 < ϵ

Para encontrar um δ > 0 o primeiro passo é substituir f x na desigualdade:

Passo 2

Substituindo f x :

4 x + 3 - 7 < ϵ

4 x - 4 < ϵ

4 ( x - 1 ) < ϵ

4 x - 1 < ϵ

Pela desigualdade que o problema nos forneceu, temos:

x - 1 < δ

Substituindo :

4 x - 1 < ϵ

4 δ < ϵ

δ < ϵ 4

Isso significa que ϵ 4 é um valor satisfatório para δ . Assim, estabelecemos que tendo escolhido δ = ϵ 4 , para todo   ϵ > 0 , a seguinte afirmativa é verdadeira:

se

0 < x - 1 < δ

então

f x - 7 < ϵ

Isso prova que

lim x → 1 ⁡ 4 x + 3 = 7

Resposta

δ = ϵ 4

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