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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.4 - Ex. 64

Seja:

S = ∑ k = 0 n a r k

Mostre que S - r S = a - a r n + 1 e ,portanto,

∑ k = 0 n a r k = a - a r n + 1 1 - r   ,   r ≠ 1

(uma soma dessa forma é denominada soma geométrica)

Passo 1

Falaa aí, tudo bem?

Mais uma de somatório aí pra a gente!

Primeiro veja que esse a ali é constante, então a gente pode fazer:

S = a   ∑ k = 0 n r k  

A expressão r S netão fica:

r S = a r ∑ k = 0 n r k

Beleza!

Passo 2

Vamos colocar S - r S   agora pra ver...

a   ∑ k = 0 n r k - a r ∑ k = 0 n r k

Aí a gente põe o a em evidência...

a ∑ k = 0 n r k - r   ∑ k = 0 n r k

A gente pode voltar esse r pro somatório:

a ∑ k = 0 n r k -   ∑ k = 0 n r k + 1

Passo 3

Isso aí é uma soma telescópica, quer ver?

r 0 - r 1 + r 1 - r 2 + r 2 - r 3 + … + r n - r n + 1

Vai sobrar só o primeiro e o último termo aqui:

r 0 - r n + 1

Juntando com o a do lado de fora:

a 1 - r n + 1 = a - a r n + 1

Show! Provamos que S - r S = a - a r n + 1 😉

Passo 4

Agora é só ver por que que:

S =   ∑ k = 0 n a r k = a - a r n + 1 1 - r

Vamos voltar nessa aqui:

S - r S = a - a r n + 1

Coloca o S em evidência:

S 1 - r =   a - a r n + 1

S = a - a r n + 1 1 - r

E pronto! Tudo provadinho😊

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:f) lim x → 4 ⁡ f x
Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:a) lim x → - 2 + ⁡ f ( x )
Seja f ( x ) a função definida pelo gráfico:Intuitivamente, encontre se existir:b) lim x → 3 + ⁡ f x