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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.4 - Ex. 16

Nos exercícios de 1 a 25, determine se a integral imprópria é convergente ou divergente. Se for convergente , calcule-a.

16. ∫ 0 2 d x 2 x - x 2

Passo 1

Para determinar se a integral é convergente ou divergente, devemos obter o seu valor primeiro para com o resultado em mãos afirmar se ela convergiu para algum número ou divergiu para o infinito.

Quando se trabalha com integrais impróprias, devemos lembrar de analisar onde está havendo a descontinuidade para transformar a integral dada num limite ,com um t qualquer tendendo para onde ela é descontínua, da integral dada.

Devemos também, as vezes , fazer algumas jogadinhas nas integrais para parecer com alguma integral que apresenta o seu resultado já pronto e assim poupar tempo nas resoluções.

Passo 2

Ao analisarmos a integral dada percebemos que existe uma descontinuidade infinita tanto em 0 como em 2, sendo assim podemos reescrever a integral dada da seguinte forma:

∫ 0 2 d x 2 x - x 2 = ∫ 0 1 d x 2 x - x 2 + ∫ 1 2 d x 2 x - x 2 = lim s → 0 + ⁡ ∫ t 1 d x 2 x - x 2 + lim t → 2 - ⁡ ∫ 1 t d x 2 x - x 2 =

= lim s → 0 + ⁡ ∫ s 1 d x 1 - x - 1 2 + lim t → 2 - ⁡ ∫ 1 t d x 1 - x - 1 2 =

= lim s → 0 + ⁡ a r c s e n ( x - 1 ) s 1 + lim t → 2 - ⁡ a r c s e n ( x - 1 ) 1 t =

= lim s → 0 + ⁡ [ - a r c s e n s - 1 ] + lim t → 2 - ⁡ a r c s e n ( t - 1 ) = - - π 2 + π 2 = π

Logo, a integral dada é convergente.

Resposta

∫ 0 2 d x 2 x - x 2 = π

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