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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 2

Calcule a integral abaixo sem usar tabela:

int_1^(oo) (d x)/(x^(1,001))

Passo 1

Neste caso temos uma integral com um dos limites sendo infinito, logo temos uma integral imprópria . Por definição se existir uma função contínua f ( x ) em [ a , oo ) , então:

int_a^(oo) f (x) d x = underset(b -> oo)(lim) int_a^b f ( x ) d x

Assim:

int_1^(oo) (d x)/(x^(1,001)) = underset(b -> oo)(lim) int_1^b (d x)/(x^(1,001))

Passo 2

Calculando a integral, temos:

underset(b -> oo)(lim) int_1^b (d x)/(x^(1,001)) = underset(b -> oo)(lim) int_1^b x^(- 1,001) d x = underset(b -> oo)(lim) (x^(- 0,001))/(- 0,001) (​|_1^b =

= underset(b -> oo)(lim) - 1000 ((1)/(x^(0,001))) (​|_1^b = underset(b -> oo)(lim) - 1000 ((1)/(b^(0,001)) - 1)

Lembre-se que a integração de um polinômio é dada por:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Lmebre-se também que de forma genérica a aplicação dos limites de integração é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Passo 3

Aplicando o limite:

underset(b -> oo)(lim) - 1000 ((1)/(b^(0,001)) - 1) = 1000

Resposta

1000

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