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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.7 - Ex. 7

Calcule a integral abaixo sem usar tabela:

int_0^1 (d x)/(sqrt(1 - x^2))

Passo 1

Observe que para x = 1 a integral não é definida, assim é uma integral imprópria. Temos então que:

int_0^1 (d x)/(sqrt(1 - x^2)) = underset(b -> 1)(lim) int_0^b (d x)/(sqrt(1 - x^2))

Passo 2

Integrando, temos:

underset(b -> 1)(lim) int_0^b (d x)/(sqrt(1 - x^2)) = underset(b -> 1)(lim) s e n^(- 1) (x) (​|_0^b = underset(b -> 1)(lim) s e n^(- 1) (b) - s e n^(- 1) (0)

Lembre-se também que de forma genérica a aplicação dos limites de integração é feito da seguinte maneira:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F ( a )

Ou seja, após integrar de forma genérica você irá substituir os limites de integração ( a e b) nesse resultado obtido, respeitando a ordem de o limite superior aplicado na função menos o limite inferior aplicado na função.

Passo 3

Aplicando o limite, temos:

underset(b -> 1)(lim) s e n^(- 1) (b) - s e n^(- 1) (0) = (pi)/(2) - 0 = (pi)/(2)

Resposta

(pi)/(2)

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