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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 6.2 - Ex. 27a

Nos Exercícios 27 e 28, use o método da casca para determinar o volume dos sólidos obtidos com a rotação das regiões sombreadas em torno dos eixos indicados.

27 –

A – O eixo x.

Passo 1

Observe que os limites da figura do eixo apresentado é o 1 e 0, logo este será nosso limite integração.

Utilizaremos a fórmula:

V =   ∫ b a 2 π ⋅ r a i o   d a   c a s c a a l t u r a   d a   c a s c a d y

Inserimos agora os valores na fórmula:

V =   2 π ∫ 0 1 y 12 ( y 2 - y 3 ) d y = 2 π ∫ 0 1 12 y y 2 - y 3 d y = 24 π ∫ 0 1 y y 2 - y 3 d y

Desenvolvendo a multiplicação:

24 π ∫ 0 1 y 3 - y 4   d y

Resolvendo a integral teremos:

V = 2 4 π y 4 4 - y 5 5 0 1

Resolvendo os limites de integração:

V = 2 4 π 1 4 4 - 1 5 5 - 0 4 4 - 0 5 5

V = 2 4 π 1 4 - 1 5 - 0  

V = 2 4 π 5 - 4 20 = 24 π 1 20 = 24 π 20

Poderemos simplificar as frações, assim teremos como resultado:

6 π 5 u . v .

Observação: Como pediu o volume e não foi informado uma unidade de medida utilizamos o termo u . v . que significa unidade de volume.

Resposta

6 π 5 u . v .

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