Enunciado

Nos Exercícios 31-40, verifique se o ponto dado faz parte da curva e determine as retas que são (a) tangentes e (b) normais à curva no ponto dado.

38. x sen ⁡ 2 y = y cos ⁡ 2 x ,       ( π / 4 , π / 2 )

Passo 1

Para verificar se o ponto faz parte da curva só precisamos substituir as coordenadas na função:

x sen ⁡ 2 y = y cos ⁡ 2 x ,       ( π / 4 , π / 2 )

π 4 sen ⁡ 2 π 2 = π 2 cos ⁡ 2 π 4

π 4 ( 0 ) = π 2 ( 0 )

0 = 0

Portanto o ponto faz parte da curva.

Passo 2

a.

A reta tangente tem como inclinação o valor da derivada naquele ponto.

Derivando implicitamente a função:

sen ⁡ 2 y + x cos ⁡ ( 2 y ) 2 y ' = y ' cos ⁡ 2 x + y ( - sen ⁡ ( 2 x ) 2 )

2 x cos ⁡ 2 y - cos ⁡ 2 x y ' = - 2 y sen ⁡ 2 x - sen ⁡ 2 y

y ' = - 2 y sen ⁡ 2 x - sen ⁡ 2 y 2 x cos ⁡ 2 y - cos ⁡ 2 x

O coeficiente angular da reta, tangente à função, no ponto ( π / 4 , π / 2 ) , vale:

y ' = - 2 ( π / 2 ) sen ⁡ ( 2 π / 4 ) - sen ⁡ ( 2 π / 2 ) 2 ( π / 4 ) cos ⁡ 2 π / 2 - cos ⁡ 2 π / 4

y ' = - π ( 1 ) - 0 ( π / 2 ) ( - 1 ) - 0

y ' = - π - π / 2

y ' = 2

A reta tem sua equação da forma:

y - y 0 = m ( x - x 0 )

y - π / 2 = 2 x - π / 4

y = 2 x - π 2 + π 2

y = 2 x

Passo 3

b.

A linha normal vai ter o mesmo ponto em comum.

Entretanto seu coeficiente angular irá ser oposto e inverso ao coeficiente angular da reta tangente, pois as retas são perpendiculares. Vamos mostrar o porquê disso.

Imagine duas retas r e s perpendiculares:

A tg ⁡ β e a tg ⁡ ( β + 90 ° ) são os coeficientes agulares das retas s e r , respectivamente.

Vamos calcular o valor de tg ⁡ ( β + 90 ° ) usando as fórmulas de adição estudada no Capitulo 1:

tg ⁡ β + 90 ° = sen ⁡ ( β + 90 º ) cos ⁡ ( β + 90 º )

tg ⁡ β + 90 ° = sen ⁡ β cos ⁡ 90 ° + sen ⁡ 90 ° cos ⁡ β cos ⁡ β cos ⁡ 90 ° - sen ⁡ β sen ⁡ 90 °

tg ⁡ β + 90 ° = sen ⁡ β 0 + 1 cos ⁡ β cos ⁡ β 0 - sen ⁡ β 1

tg ⁡ β + 90 ° = cos ⁡ β - sen ⁡ β

tg ⁡ β + 90 ° = - 1 tg ⁡ β

Ou seja:

m r = - 1 m s

Pronto, agora que a gente tem certeza que os coeficientes angulares das retas perpendiculares são opostos e inversos, vamos continuar calculando a equação da reta normal:

y - π 2 = - 1 2 x - π / 4

y = - 1 2 x + π 8 + π 2

y = - 1 2 x + 5 π 8

Resposta

O ponto faz parte da curva.

a. y = 2 x

b. y = - 1 2 x + 5 π 8

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