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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.3 - Ex. 79

Determine o valor máximo absoluto de f x = x 2 ln ⁡ 1 x e indique onde a função assume esse valor.

Passo 1

Vamos começar derivando a função:

f ' x = 2 x ln ⁡ 1 x + x 2 1 1 x   1 x '

f ' x =   2 x ln ⁡ 1 x + x 2 x - 1 x 2

f ' x =   2 x ln ⁡ 1 x - x

Passo 2

Vamos achar os pontos críticos igualando a derivada a zero:

f ' x =     2 x ln ⁡ 1 x - x = 0

x 2 ln ⁡ 1 x - 1 = 0  

Então:

Ou x = 0 ou 2 ln ⁡ 1 x - 1 = 0 → ln ⁡ 1 x = 1 2

Vamos eliminar o logaritmo usando a exponencial de ambos os lados:

e ln ⁡ 1 x = e 1 2  

E então...

1 x = e 1 2 → x = 1 e 1 2   = 1 e

Que é o nosso ponto crítico.

E o valor da função nesse ponto é:

f 1 e = 1 e 2 ln ⁡ 1 1 e

= 1 e ln ⁡ e 1 2   → 1 e 1 2 ln ⁡ e   → 1 2 e

Resposta

O valor máximo é 1 2 e e a função assume esse valor em x =   1 e .

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