Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.11 - Ex. 36

Nos exercícios 33 a 3 7 , encontrar o comprimento de arco da curva dada.

Passo 1

Sabendo que a equação que define o comprimento de arco de uma curva é dada por:

s = ∫ θ 0 θ 1 f ' θ 2 + f θ 2 d θ

Se torna necessário definir a primeira derivada da função da curva fornecida no enunciado.

Passo 2

Logo, o que deve ser determinado é:

d d θ r = d d θ 3 θ 2 = 6 θ

Portanto, substituindo na equação do comprimento de curva:

s = ∫ 0 2 π / 3 6 θ 2 + 3 θ 2 2 d θ

s = ∫ 0 2 π / 3 36 θ 2 + 9 θ 4 d θ

Tirando o fator comum:

s = ∫ 0 2 π / 3 9 θ 2 4 + θ 2 d θ = ∫ 0 2 π / 3 3 θ 4 + θ 2 d θ

Passo 3

Logo, resolvendo a integral por substituição simples onde u = 4 + θ 2 e d u = 2 θ d θ :

s = 3 ∫ 0 2 π / 3 u d u 2

s = 3 2 u 3 / 2   3 / 2   | 2 π / 3 0

Voltando para a variável original:

s = 4 + θ 2 3 / 2 | 2 π / 3 0

Substituindo os intervalos de integração:

s = 4 + 2 π 3 2 3 / 2 - 4 + 0 3 / 2

s = 4 + 4 π 2 9 3 / 2 - 8 = 36 + 4 π 2 9 3 / 2 - 8

Tirando o fato comum novamente:

s = 4 9 3 / 2 9 + π 2 3 / 2 - 8

s = 8 27 9 + π 2 3 / 2 - 8

Resposta

8 27 9 + π 2 3 / 2 - 8   u . c .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos exercícios 9 a 32, esboçar o gráfico das curvas dadas em coordenadas polares.17. r = a ± b s e n θ a = 2 e b = 3 ; a = 3 e b = 2 ; a = b = 2
Ache todos os pontos de intercecção dos gráficos das duas curvas dadas. r = 2 ( 1 + c o s θ ) r 2 = 2 c o s θ
Substitua as equações cartesianas nos Exercícios 53-66 por equações polares equivalentes. x - y = 3
Substitua as equações cartesianas nos Exercícios 53-66 por equações polares equivalentes. x 2 + y 2 = 4
Substitua as equações cartesianas nos Exercícios 53-66 por equações polares equivalentes. x 2 + ( y - 2 ) 2 = 4